Si meg, lukter lufta litt rart her?

Men ikke egentlig. "Hva skal vi med en slik analyse, Askeladden?" sp?rr Tuslingen ang?ende atmosf?re analysen. "Det er for ? finne ut hvilket filter vi skal bruke for ? kunne puste der og hvordan vi skal konstruere fallskjermen for satellitten v?r!" svarte Askeladden med et muntert smil om munnen. Askeladden trenger nemlig ? vite hva atmosf?ren best?r av for ? kunne lage slike innretninger.

Dette finner han ut ved ? lage en modell av atmosf?ren til ?tvekdal, mer spesifikt en tetthetsmodell av atmosf?ren til ?tvekdal. Han antar at b?ten ikke har st?rre hastighet enn \(10\text{ km/s}\) i forhold til planeten n?r han starter spektralm?leren om bord. Kanskje du har gjettet det allerede, men han trenger da ? ta hensyn til dopplerskiftet i m?lingene. Dopplerskiftet vil ikke v?re synlig for s? liten hastighet tenker du kanskje, men ikke glem at m?lingene er m?lt i nanometer (\(10^{-9}\)) som er veldig sm? tall! Dermed vil Dopplereffekten ha innvirkning p? dataene. Formelen vi trenger er dermed gitt under:

\(\Delta\lambda = \frac{v_{max}}{c}\cdot \lambda_0\) [1], husk fra tidligere innlegg at formelen for b?lgelengde er gitt som \(\lambda = \frac{v}{f}\rightarrow f = \frac{v}{\lambda}\) [2]. Dopplereffekten ser p? endring i frekvens som kan skrives som \(\Delta f = \frac{\Delta v}{c}f_0\) [3], hvor \(v\) er endring i hastighet, \(c\) er lyshastigheten og \(f_0\) er en initial frekvens. Setter vi inn for frekvens [2] inn i doppler formelen [3] f?r vi formelen for endringen i b?lgelengde ved en gitt hastighet.

Det neste Askeladden trenger er et sett med atmosf?riske molekyler som kan befinne seg i atmosf?ren til ?tvekdal. Han plukker ut f?lgende molekyler: di-oksygen (\(O_2\)) ved b?lgelengdene \(\lambda_{0, O_2} = 632, 690, 760\) [nm], vann (\(H_2O\)) ved \(\lambda_{0, H_2O} = 720, 820, 940\), karbondioksid (\(CO_2\)) ved \(\lambda_ {0, CO_2} = 1400, 1600\), karbonmonoksid (\(CO\)) ved \(\lambda_{0, CO} = 2340\), metan (\(CH_4\)) ved \(\lambda_{0, CH_4} = 1660, 2200\) og lystgass (\(N_2O\)) ved \(\lambda_{0, N_2O} = 2870\). Dette er de mest vanlige stoffene ? finne i atmosf?ren til en planet.

Men hvordan skal han se disse molekylene fra rommet da? Ved et kjent konsept som han allerede er kjent med, nemlig absorpsjonslinjer. Dette er m?rke linjer p? det elektromagnetiske spektrumet som viser til at et stoff har absorbert energien ved en bestemt b?lgelengde. Disse linjene kan modelleres ved ? bruke gaussisk fordeling og linje distribusjon som Askeladden allerede har introdusert.

En liten oppfriskning til dette vil v?re at fotoner som kommer i kontakt med et atom vil gi energi til atomet. Et elektron vil dyttes opp i energiniv?, hvor den ikke h?rer hjemme. Den kjapper seg ned til den korrekte banen f?r noen ser det og atomet gir ut energi ved en gitt b?lgelengde. Dette vil v?re gaussisk fordelt i en gass og Askeladden kan dermed tiln?rme en gaussisk fordeling for ? finne korrekte absropsjonslinjer.

Uttrykket Askeladden kan bruke for ? modellere en slik gaussisk linje fordeling er gitt i formelen under:

\(F(\lambda) = 1 + (F_{min} - 1)\exp\left[-\frac{1}{2}(\lambda - \lambda_0 / \sigma)^2\right]\), hvor \(\sigma = \frac{\lambda_0}{c}\sqrt{\frac{kT}{m}}\) er standardavviket for hvert enkelt molekyl i modellen. \(F_{min}\) er den forventede bunnen p? absorpsjonslinjen.

"Da er den ferdig!" sier Tuslingen. Askeladden skvetter ut av tankegangen sin og snur seg mot Tuslingen. "Hva da?" sp?rr Askeladden. "Atmosfisatoren vel! Den st?r ? blinker med alle slags mulige tall og symboler" sier Tuslingen.

Atmosifisatoren viste nemlig fluks-data om b?lgelengder mellom 600 [nm] og 3000 [nm]! Askeladden l?per bort ? plugger i datamaskinen for ? laste ned dataene, men til hans forundring er det et ENORMT datasett. Han trenger dermed en m?te ? filtrere ut b?lgelengdene han ikke trenger og hente dataene som omhandler kun de utvalgte b?lgelengdene nevnt over. Atomifisatoren har normalisert fluksdataen slik at \(F = 1\) er den forventede fluksen uten noen absorpsjonslinjer. Det er nemlig dem han skal se  etter for ? bestemme hvilke molekyler atmosf?ren til ?tvekdal best?r av.

For ? luke ut de falske absorpsjonslinjene kommer Askeladden til ? bruke en metode kalt \(\chi^2\)-minimering (uttalt chi-kvadrat). Det er en statistisk metode for ? velge bort store st?yverdier i store datasett. St?y er i korte trekk tilfeldige utslag/endringer p? dataverdier, ofte skapt av un?yaktige instrumenter eller forstyrrende elementer som vind og elektroner p? avveie. Chi-kvadrat fjerner disse forstyrrelsene, leter etter de underliggende signalene i datasettet og finner de korrekte absorpsjonslinjene med litt hjelp fra oss ved ? sammenligne mot den analytiske modellen v?r fra linje profilen. Hovedsakelig kommer chi-kvadrat metoden til ? best? av formelen under:

\(\chi^2(\lambda_0, F_{i, min}, \lambda_i, \sigma_i, T_i, m_i) = \sum_{i = 1}^N\left[\frac{F_{data}(\lambda_i) - F_{model}(\lambda_i)}{\sigma_i}\right]^2\), hvor \(F_{data}\) er den aktuelle fluksdataen fra atmosfisatoren, \(F_{model}\) er den modellerte fluksen fra den gausisske linje profilen og \(\sigma_i\) er de registrerte st?yverdiene fra komponentene i atmosfisatoren.

Du stusser kanskje p? hvorfor i all verden man trenger alle de parameterene som skal inn i chi-kvadrat metoden. La oss da se p? hva \(\chi^2\) egentlig kalkulerer. Det blir jo egentlig bare et dimensjonsl?st tall, ikke sant? Legger vi dermed inn forskjellige parametere vil \(\chi^2\) bli et tall. Desto mindre \(\chi^2\) blir, desto st?rre sannsynlighet er det for at de parametrene vi legger inn, stemmer med atmosf?ren til ?tvekdal.

F?rste parameteren chi-kvadrat metoden trenger er initial b?lgelengde og dem har han allerede definert over, s? da sende han inn for hver enkelt molekyl der. Neste parameteren er \(F_{min}\) og det er bunnpunktet til absorpsjonslinjen. Det er forventet at den skal v?re \(F_{min} > 0.7\), hvis ikke kan den ikke regnes som en spektrallinje. Parameteren etter det er de forskjellige b?lgelengdene det skal regnes ut for. Askeladden setter at de skal v?re mellom \(\lambda_i - \Delta\lambda < \lambda_i < \lambda_i + \Delta\lambda\) [nm] for ? v?re innenfor r?dforskyvet og bl?forskyvet spektrum. Den neste parameteren er standardavviket for st?yen i dataene (\(\sigma_i\)), de kommer fra atmosfisatoren. Nest siste parameter er temperaturen og er antatt ? ligge mellom \(150 < T < 450\) [K], som er det laveste og h?yeste kokepunktet av de gassene han leter etter.

Sist men ikke minst kommer molekyl?rmassen til hver enkelt molekyl. Askeladden kombinerer de forskjellige atomene \(O = 2.65\cdot 10^{-26}\) [kg], \(H = 1.67\cdot 10^{-27}\) [kg], \(C = 1.99\cdot 10^{-26}\) [kg] og \(N = 2.32\cdot 10^{-26}\) [kg] for ? f? molekyl?rmassen til de forskjellige gassene. Molekyl?rmassen kan man finne i tabellen under:

Med alle grensene til parametrene p? plass kj?rte Askeladden simuleringen sin og fikk f?lgende verdier ut av simulasjonen gitt i tabellen under:

Overflatetemperaturen til ?tvekdal som Askeladden simulerte ligger p? 177 K, alts? \(-96^\circ C\) som er ganske kaldt. Han antar at ?tvekdal har noe geologisk aktivitet, s? overflatetemperaturen kan godt antas ? ligge litt over 177 K. Han senker ogs? kravet til \(F_{min}\) fra \(>0.7\) til \(>0.65\) p? grunn av at ingen av \(F_{min}\) verdiene kombinert med temperaturene stemmer overens med overflatetemperaturen.

Askeladden har fargelagt tre stoffer i tabellen med gr?nt som stemmer overens med kravene til parametrene. Det er f?lgende stoffer: \(O_2\), \(CH_4\) og \(N_2O\). Grunnen til at disse kan v?re reelle absorpsjonslinjer, er at de f?rst ? fremst har samme dopplerskift som forventes med tanke p? retningen til hastighetsvektoren til b?ten. Temperaturen til disse stoffer ligger rundt overflate temperaturen til ?tvekdal og \(F_{min}\) er ogs? innenfor de grensene som Askeladden har satt. Det Askeladden biter seg merke i er at metan er en biogass, s? det kan hende at de finner liv p? ?tvekdal! Han regner ut molekyl?rmasse til atmosf?ren til ?tvekdal i formelen under:

\(\mu = \frac{(0.33m_{O_2} + 0.33m_{CH_4} + 0.33m_{N_2O})}{m_p} = 30.08\), gjennomsnittlig molekyl?r vekt for atmosf?ren til ?tvekdal, hvor \(m_p\) er massen til et proton/hydrogen.

Askeladden pr?vde ogs? ? modellere disse absorpsjonslinjene og plotte de mot den dataen som kommer fra atmosfisatoren. Det gikk heller d?rlig, da den analytiske modelleringsfunksjonen ikke fungerte som den skulle. I figur 1 kan man se dataen for det f?rste tenkte molekylet i atmosf?ren \((O_2)\). Askeladden plottet heller linjer for ? representere verdiene som kom fra chi-kvadrat metoden. Den laveste vannrette r?de linjen representerer den tiln?rmede \(F_{min}\), den h?yeste vannretter r?de linjen er den normaliserte fluksen \(F_{cont}\) og den loddrette r?de linjen representerer b?lgelengden man forventer ? se absorpsjonslinjen \(\lambda\).

Ved ? studere figur 1 kan man se at de passede verdiene ikke stemmer helt med modellen. Dette kan v?re for at chi-kvadrat ikke har blitt implementert riktig nok, eller at modellen sammenligner feil verdier med feil data-sett. Vi kan derimot se at det er potensielle kurver i data sette p? andre b?lgelengder som kan v?re det vi har funnet.

I figur 2 kan vi se at igjen s? ser det ut som at \(F_{min}\) verdien er korrekt, men b?lgelengden er feil i forhold til dataene. Askeladden ser heller p? data settet at \(F_{min}\) verdien som er funnet her, heller kunne passet bedre rundt \(\lambda_{CH_4} = -0.07\) fra den orginale \(\lambda_{0, CH_4} = 2200\) [nm].

Det siste molekylet (\(N_2O\)) er modellert i figur 3. Her Askeladden igjen se at b?lgelengden er plassert p? feil omr?de, men for dette molekyler er ogs? \(F_{min}\) p? avveie. Man kan ikke se at den er s? stor om man f?lger datasettet i bakgrunnen.

Her kan det hende at atmosfisatoren har oppdaget en sv?r sigma-feil og satt denne inn som chi-kvadrat metoden har tolket som den beste sigma-feilen. Askeladden har dermed ogs? muligens en feil i hvordan chi-kvadrat implementerer sigma. Han ser dermed at det er mulig at denne \(F_{min}\) kan v?re mulig rundt \(\lambda_{N_2O} = -0.075\) [nm] i figur 3.

Askeladden ser at det er en konflikt mellom modellene og de utregnede verdiene, men med tanke p? hastigheten til b?ten og forskyvningen fra den samt temperatur s? er det de beste molekylene de har ? g? p?.

Askeladden tar fatt i blyanten igjen og raser videre med ? finne ut hvordan tettheten og temperaturen forplanter seg i denne atmosf?ren til ?tvekdal.