Askeladden finner fram til at radiell forflyttning av lys i schwarzschilds romtid kan uttrykkes som formelen under:
\(\Delta r = \pm \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\sqrt{1 -\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\frac{(L/E)^2}{r^2}}\Delta t\) [1], hvor \(M\) representerer massen til det sorte hullet, \(r\) er avstanden fra sentrum av det sorte hullet til lyspartikkelen og \(L/E\) er angul?r moment per energi.
\(r\Delta\phi = \pm\frac{L/E}{r}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\Delta t\) [2], vil v?re formelen for bevegelse i angul?r retning.
Askeladden sender en lysstr?le rett mot det svartehullet. Den vil dermed bevege seg kun radielt mot det sorte hullet. Angul?r momentet til lyset vil da v?re \(L = 0\) og tangensiell bevegelse vil bli \(\Delta \phi = 0\). Radiell hastighet vil dermed kunne skrives som:
\(\frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{dr}{dt} = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\), her gjelder de samme konstantene som i formelen over. Dette vil dessverre kun gjelde for langt-vekk observat?ren.
Askeladden befinner seg inne i gravitasjonsfeltet til det sorte hullet og vil dermed regnes som en skallobservat?r. Han m? finne bevegelses ligningen for lys inne i dette tyngdefeltet. Likning [1] og [2] kan skrives om p? formelen under med det som kalles "nedslagskonstanten" \(b = L / p\). Den forteller om forholdet mellom bevegelsesmengden til lyset og angul?rmomentet.
\(\frac{dr}{dt} = \pm \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\sqrt{1 - \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\frac{b^2}{r^2}}\) [3], dette er fortsatt for langtvekk observat?ren!
Han vet hva forholdet mellom en skallobservat?rs avstand og tid er i forhold til langt-vekk observat?ren og definerer det i formlene under:
\(dr = \sqrt{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)}dr_{shell}\), er formelen for forskjellen mellom avstand.
\(dt = \frac{dt_{shell}}{\sqrt{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)}}\), er formelen for forskjellen mellom tid for de to observat?rene.
Askeladden setter inn de to forholdene i formlene over inn i formel [3] og l?ser for hastigheten i skallene. Han kommer fram til at det ender opp med ? bli:
\(\frac{1}{b^2}\left(\frac{dr_{shell}}{dt_{shell}}\right)^2 = \frac{1}{b^2} - \frac{(1 - \frac{2M}{r})}{r^2}\) [4], dette er hastigheten som skallobservat?ren m?ler og ser.
Han er n? interessert i hvordan det effektive potensialet kan se ut for lyset. Ser man n?rmere p? formel [4] over kan man se at den kan skrives p? formen:
\(B\dot{\vec{x}}^2 = A + V(x)^2\), hvor \(A = B = 1/b^2\) og \(V(x)\) er det effektive potensialet. Dette gjelder ogs? for orbital bevegelse i schwarzschild geometri.
Det effektive potensialet for lys vil dermed v?re gitt fra formel [4] som \(V_{eff}(r) = \sqrt{\frac{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)}{r^2}}\).
Dette potensialet kan forenkles. Askeladden setter \(2M = C\) som en konstant og skriver potensialet som \(V_{eff} = \sqrt{1 / r^2 - C/r^3}\). Deretter tegner han potensialet i figur 1. Om man tenker seg at lyset er en vogn p? grafen som skal pr?ve ? komme seg opp, m? den ha h?y nok kinetisk energi. Lys som ikke har h?y nok energi vil komme inn mot det sorte hullet, men fare forbi. Lys som har nok energi vil bli sugd inn i det sorte hullet, men intet lys kommer til ? bli fanget av det sorte hullet. Det kan oppst? en ustabil bane ved ekstremalpunktet til grafen, men det vil ikke v?re der lenge.
Askeladden f?ler seg sliten og g?r ned i kabinen, der finner han den gamle kisten han har glemt.