"Vil du gjette p? hva tettheten og trykket er inne i denne kjempen?" sp?r Sakkosekken uvitende om at Askeladden allerede er dypt inn i tankeprosessen for det. Han starter igjen med ? anta uniform tetthet inne i stjernen. Deretter antar han ideell gass og ignorerer str?lingstrykket som er et faktum, med tanke p? at det tar lang tid f?r str?lingsenergi slipper ut. Askeladden antar ogs? hydrostatisk likevekt som for atmosf?ren p? ?tvekdal. Solen best?r jo for det meste av plasma, som er ionisert gass. Antakelsene til Askeladden er dermed ikke helt p? jordet. Det f?rste Askeladden utleder er en formel for massen til stjernen over radius, ved ? bruke definisjonen av uniform tetthet og radiusen til en kule finner Askeladden formelen under:
\(\rho = \frac{M}{V}\rightarrow M(r) = \frac{4}{3}\rho_0\pi r^3\), her er \(\rho_0\) den uniforme tettheten og \(r\) er radiusen som man ser p?.
Videre kommer Askeladden fram til et uttrykk for temperatur ved en gitt radius ved ? bruke de antakelsene som er gjort over og definerer massen til hydrogen til ? v?re \(m_H = 1.673\cdot10^{-27}\) [kg]. Formelen han kommer fram til er endringen i temperatur ved en gitt radius:
?\(\frac{dT(r)}{dr} = -\frac{4}{3k_B}\rho_0G\pi r\mu m_H\)?, hvor \(k_B\) er Boltzmanns konstant \(\mu\) er gjennomsnittlig molekyl?r masse og \(r\) er radiusen fra sentrum til overflaten av stjernen. Om du er interessert i utledningen kan du sjekke journalen.
Askeladden integrer formelen over nettopp fra sentrum av stjernen til en gitt radius \(R\). Formelen Askeladden ender da opp med er en formel for kjernetemperaturen til stjernen gitt under:
\(\begin{align} \int_0^R \frac{dT(r)}{dr} &= -\frac{4}{3k_B}\rho_0G\pi\mu m_H \int_0^R rdr \\ T(R) - T(0) &= -\frac{4}{3k_B}\rho_0G\pi\mu m_H\left(\frac{R^2}{2}\right) \\ T_c = T(0) &= T(R) + \frac{2}{3k_B}\rho_0G\pi\mu m_H R^2 \end{align}\), her er det nederste uttrykket formelen for kjernetemperaturen til en stjerne. Alle konstanter er de samme som nevnt over.
Ved ? bruke konstantene han har til n? finne Askeladden at kjernetemperaturen til stjernen i Pjokknes er \(T_{core, pjokk} \approx 19\cdot10^6 \) [K]. Han antar videre at all energi produksjon i kjernen skjer innenfor \(0.2R_{pjokk}\). Sakkosekken kan fortelle at stjerner med en kjernetemperatur under \(T_c < 90\cdot 10^6\) [K] f?r energien sin fra pp-kjeden og en kjede kalt CNO-kjeden, som fusjonerer karbon, oksygen og nitrogen om temperaturen tillater det (\(T = 20\cdot 10^6\) [K]). Askeladden antar dermed at kjernen best?r av 74.5% hydrogen og 25.3% helium og 0.2% karbon, oxygen og nitrogen.
F?r Askeladden fortsetter med sin iherdig analyse av stjernen sin, stopper Sakkosekken ham og setter ham inn i de forskjellige kjedene for energiproduksjon. Den f?rste og enkleste av de er proton-proton kjeden som sl?r sammen fire hydrogen til et helium som gir ut str?ling. Reaksjonsraten til denne kjeden er gitt under:
\(\epsilon_{pp} \approx \epsilon_{0, pp}X_H^2\rho T_6^4\), denne kommer fra kvantefysikken og forteller noe om total produsert energi per sekund per kg med gass for proton-proton kjeden. Her er \(e_{0, pp} = 1.08\cdot 10^{-12}\) [W \(m^3/kg^2\)] en gitt empirisk konstant fra fors?k, \(X_H\) er fordelingen av hydrogen i forhold til den totale massen, \(\rho \) er tettheten til gassen og \(T_6\) er temperatur gitt i millioner kelvin.
pp-kjeden er som nevnt ikke veldig effektiv, hvor kun 0.7% konverteres til energi. Den neste reaksjonskjeden er cno-kjeden. Den konverterer ogs? fire hydrogenatomer til ett heliumatom, MEN det er via karbon, oksygen og nitrogen. Reaksjonsraten til denne kjeden er gitt under:
\(\epsilon_{CNO} = \epsilon_{0, CNO}X_HX_{CNO}\rho T_6^{20}\), hvor den empiriske konstanten er \(\epsilon_{0, CNO} = 8.24\cdot10^{-31}\)[W \(m^3/kg^2\)] og \(X_{CNO}\) er fordelingen av karbon, oksygen og nitrogen i forhold til den totale massen.
For Askeladden s? er fordelingene allerede definert som \(X_H = 0.745\) og \(X_{CNO} = 0.02\) fra prosentene som han antok kjernen besto av. Luminositeten kan regnes ut fra formelen under:
\(\frac{dL}{dr} = 4\pi r^2\rho(r)\epsilon(r) = 4\pi r^2\rho_0\epsilon(r)\rightarrow L = \frac{4}{3}\pi (0.2R_{pjokk})^3\rho_0(\epsilon_{pp} + \epsilon_{cno})\), hvor Askeladden har integrert fra \(0 \rightarrow 0.2R_{pjokk}\).
Igjen med konstanter som er definert finner Askeladden ut at luminositeten til stjernen ved kun kjernereaksjoner er \(L_{c, pjokk} = 1.43\cdot 10^{25}\) [W]. Denne luminositeten er lavere enn den som Askeladden fikk ved sort legeme utledningen. Askeladden snur om p? luminositetsuttrykket for ? finne den antatte overflatetemperaturen til stjernen med kjerneluminositeten og kommer fram til:
\(T = \left(\frac{L}{4\pi (0.2R_{stjerne})^2\sigma}\right)^{1/4} = 2885\) [K], dette er mye mindre enn den m?lte \(T_{pjokk}\).
Askeladden blir litt forundret over resultatet. Stjernen skulle jo produsert mye mindre energi enn det den gj?r, men om man g?r tilbake ? ser p? antakelsene Askeladden har gjort kan man se hva som er problemet. For det f?rste antar han at kjernen har en uniform tetthet, det kan kanskje v?re tilfelle p? makroniv?, men det fusjoneres over alt i kjernen til forskjellig til og kan dermed bidra til ?kningi temperatur og produksjon av energi.
Askeladden har ogs? antatt at partiklene ikke kolliderer med hverandre som en ideell gass. Det er heller ikke tilfelle for plasma inne i en stjerne og kan dermed v?re en stor bidragsyter til energiproduksjon.
Sakkosekken tar Askeladden ut av den store kjempen til Pjokknes og begynner ? dure igjen. "Hva skal du n??" sp?r Askeladden. "Vise deg fremtiden og konsekvensene av ? v?re en kjempe stjerne." mumler Sakkosekken mystisk.