Den dominerande gravitasjonskrafta
Anta at raketten er n?rme ein av planetane. Kva er s? avstanden mellom raketten og planeten dersom gravitasjonskrafta fr? planeten i denne posisjonen er k gongar st?rre enn gravitasjonskrafta fr? stjerna? Det skal vi her kome fram til.
Gravitasjonskrafta fr? planeten er alts? k gongar st?rre enn den fr? stjerna. Her luktar det Newtons gravitasjonslov lang veg! La oss setja den opp og sj? kva vi finn
\(\begin{align*} \vec{F}_{g, p} &= k\vec{F}_{g, s} \\ G \frac{M_p m}{l^2} \hat{r} &= kG\frac{M_s m}{r^2}\hat{r} \end{align*}\)
Dette her er rett fram algebra, og det kan dykk banne p? at dykk blir gode p? i l?pet av Fysikk 2 (dersom dykk har det). Det dykk kanskje ikkje har vore borti er nemninga \(\hat{r}\). Den er for ? vise kva for ei retning krafta verkar i, og her verkar ho alts? i r-retninga som vil seie radiell retning.
Her er \(m\) massa til raketten, \(M_p\) og \(M_s\) er h?vesvis planet- og solmassa, \(r\) er \(|\vec{r}|\) som er avstanden fr? sola til raketten, og \(l\) er avstanden fr? planeten til raketten. Og \(G \) er som vanleg gravitasjonskonstanten.
Vi ser med ein gong at vi kan stryke \(m\), \(G\) og \(\hat{r}\). Det gjev oss
\(\frac{M_p}{l^2} = k \frac{M_s}{r^2}\)
som vi skal l?yse med omsyn p? \(l\):
\(\begin{align*} M_p &= l^2 k \frac{M_s}{r^2} \\ l^2 &= \frac{M_p r^2}{k M_s} \\ l &= r\sqrt{\frac{M_p}{k M_s}} \\ l &= |\vec{r}|\sqrt{\frac{M_p}{kM_s}} \qquad \blacksquare \end{align*}\)
Kor n?rme m? vi vere for ? sj??
Kor n?rme m? vi vere for ? f? teke eit bilete av destinasjonsplaneten? Eller for ? seie det p? ein anna m?te: kor n?rme m? vi vere planeten for at vi skal kunne skimte det p? eit bilete?
Det vert sagt at ein kan skimte objektet ein tek bilete av dersom det tek opp meir enn èin piksel. Vi antek:
- at kameraet har ein piksedimensjon p? \(P \times P\) der \(P \) er pikslar
- at kameraet har eit synsfelt p? \(F \times F\) der \(F\) er m?lt i gradar
- at planeten tek opp to pikslar p? biletet og har ein radius \(R\)
Vinkel per piksel kan d? bli skriven som \(\frac{F}{P}\). Ved enkel trigonometri gjev dette oss at
\(\begin{align*} \tan{\frac{F}{P}} &= \frac{R}{L} \\ \frac{R}{L} &= \tan{\frac{F}{P}} \\ \frac{R}{L} &\geq \frac{F}{P} \end{align*}\)
Men vent, kva skjedde med tangensen tenkte du sikkert no? Jau du skj?nar det at her har vi med ein VELDIG liten vinkel ? gjere. Vi kan d? skrive
\(\tan{\frac{F}{P}} = \frac{\sin{\frac{F}{P}}}{\cos{\frac{F}{P}}} \approx \frac{\frac{F}{P}}{\cos{\frac{F}{P}}} \geq \frac{F}{P}\), der den minste moglege verdien av \(\frac{\frac{F}{P}}{\cos{\frac{F}{P}}}\) nemleg er \(\frac{F}{P}\).
Vidare f?r vi d? at
\(\begin{align*} \frac{R}{L} &\geq \frac{F}{P} \\ \frac{L}{R} &\leq \frac{P}{F} \\ L &\leq \frac{RP}{F} \qquad \blacksquare \end{align*}\)