MAT-INF 1100 - h?sten 2007
Forelesningsrapport
Her vil vi legge ut en kort rapport om hva vi har gjort p? hver forelesning.
Tirsdag 27/11. Foreleser: Knut Vi begynte med ? se p? inhomogene differensligninger der h?yresiden best?r av en sum av ledd av ulik type. I slike situasjoner kan en finne en partikul?rl?sning for hver ligning med et ledd p? h?yre side og s? vil summen av partikul?rl?sningene bli en partikul?rl?sning for den fullstendige ligningen. Etter dette s? vi p? systemer av differensialligninger og hvordan de numeriske metodene vi har for skalare ligninger enkelt kan utvides til systemer. Til slutt repeterte vi ideen bak aritmetisk koding. Og dermed var forelesningene for MAT-INF 1100 h?sten 2007 over!
Mandag 26/11. Foreleser: Knut I dag var det repetisjon som sto p? programmet. Vi begynte med induksjonsprinsippet og l?ste oppgave 4 fra pr?veeksamen h?sten 2003 (merk en litt finurlig detalj n?r du skal vise at xn<=3, du m? sjekke b?de x0 og x1 manuelt). Deretter S? vi p? oppgave 4 fra konteeksamen h?sten 2005 om induksjon og Taylorpolynomer og oppgave 1 fra pr?veeksamen h?sten 2003 om Taylorpolynomer og restledd.
Tirsdag 20/11. Foreleser: Knut Vi begynte med ? demonstrere noen beregninger p? bilder som vi pga. tekniske problemer ikke fikk vist ig?r. Deretter generaliserte vi metoder for derivasjon av funksjoner av en variabel til metoder for derivasjon av funksjoner av to variable. Som eksempel deriverte vi bilder. Til slutt diskuterte og illustrerte vi forskjellen p? rastergrafikk og videografikk.
Mandag 19/11. Foreleser: Knut Vi har f?tt beskjed om at en del synes det er vanskelig ? f? taket p? MAT-INF 1100 fordi kurset inneholder s? mye forskjellig. Vi brukte de f?rste 15 minuttene til ? se litt p? de ulike ingrediensene og hvorfor de er der. Deretter repeterte vi et eksempel p? numerisk derivasjon og utledning av feilestimat. I andre time s? vi hva som skjer med feilleddet hvis vi tar med feil antall ledd i Taylorpolynomet. Til slutt s? vi p? litt p? hva digitale bilder er. Dessverre sviktet det tekniske anlegget slik at vi ikke fikk vist eksempler p? bilder. Forh?pentligvis blir det bedre i morgen.
Tirsdag 13/11. Foreleser: Knut I dag avsluttet vi stoffet om aritmetisk koding ved ? vise denne metoden er optimal (korollar 5.19). Deretter gikk vi over til ? se p? kapittel 10 i det norske kompendiet om s?kalt toleransekompresjon. Vi gjennomgikk seksjon 10.2 i detalj og viste et eksempel p? slutten.
Mandag 12/11. Foreleser: Knut Vi fortsatte med tapsfri kompresjon, i dag med aritmetisk koding, seksjon 5.4 i det engelske kompendiet. Vi rakk ikke ? ta seksjon 5.4.3 i detalj - noe av det tar vi med i morgen. Seksjon 5.4.4 m? dere nok lese p? egen h?nd.
Tirsdag 6/11. Foreleser: Knut I dag var tema Huffman koding av informasjon og informasjonsentropi. Vi gjennomgikk seksjone 5.2 og 5.3 i det engelske kompendiet i detalj.
Mandag 5/11. Foreleser: Knut Hovedtema i dag var representasjon av tekst p? datamaskin. Vi s? p? ASCII og ISO Latin standardene og Unicode ved UTF-8. Dessuten s? vi ogs? litt p? hvordan mer generell informasjon kan representeres. Alt dette er beskrevet i seksjonene 4.3-4.5 i det engelske kompendiet. Vi s? ogs? p? hvorfor det er nyttig ? kunne komprimere informasjon, og et enkelt eksempel. Dette finner du i seksjon 5.1 og 5.2 i det engelske kompendiet. Vi fortsetter med kompresjon i morgen, fra seksjon 5.2.1.
Tirsdag 30/10. Foreleser: Geir Variasjon av parameteren(e) ble gjennomg?tt. Deretter ble det gitt et sammendrag av differensiallikninger i mat-inf 1100. Lysark fra mandag og tirsdag er lagt ut (eksempler fra mandag er ikke inkludert).
Mandag 29/10. Foreleser: Geir Vi tok for inhomogene differensiallikninger av andre orden og gikk igjennom ubestemte koeffisienters metode. Eksempler ble gitt p? alle de tre reglene. Spesielt ble regel 3 utbrodert i form av eksternt p?drag p? et svingesystem. I dette tilfellet har "unntaket" fra regelen (p?drag har samme periodisitet som egensvingningen) tolkning som resonans.
Mandag 22/10. Foreleser: Knut I dag var tema separable differensialligninger. Vi minnet f?rst litt om ulike klasser av differensialligninger og gjennomgikk s? seksjon 10.4 i Kalkulus, inklusvi de to f?rste eksemplene. Vi s? ogs? hvordan de to ligningene i oppgave 10.4.1df kan skrives p? separabel form.
Tirsdag 16/10. Foreleser: Geir Vi tok for oss Eulers metode, Eulers midtpunktmetode og Runge Kuttas metode for en f?rsteordenslikning. Det ble lagt vekt p? geometriske tolkninger og sammenhengen mellom differensial- og differenslikninger. Deretter gjorde vi om en andreordenslikning til et sett av to f?rsteordenslikninger og formulerte Eulermetodene for dette tilfellet. Det ble ogs? demonstrert at for et eksempl, som har en ren svingning som l?sning, er Eulers metode instabil. Rettede lysark er lagt ut.
Mandag 15/10. Foreleser: Geir Vi definerte differensiallikninger, tok for oss noen f? anvendte eksempler og gikk igjennom generell l?sning av line?re f?rsteordenslikninger. Deretter s? vi p? entydghet for det tilh?rende problemet med sidebetingelse (initialbetingelse). Vi rakk s? vidt ? snakke litt om numeriske metoder, men starter fra begynnelsen p? dette temaet i morgen. Lysark til b?de i dag i morgen er lagt ut.
Tirsdag 2/10. Foreleser: Knut Etter henstilling fra tillitsstudentene repeterte vi f?rst prinsippene for hvordan inhomogene differensligninger l?ses. Deretter vi utledet vi trapesregelen for numerisk integrasjon, og skrev den om til en form som kan implementeres effektivt p? datamaskin. Til slutt tok vi for oss utledning av feilestimater for numerisk derivasjon og integrasjon, seksjon 9.6 i det gamle kompendiet. Vi tok for oss de to tiln?rmingene f'(a) ≈(f(a+h)-f(a))/h og f'(a)≈(f(a+h)-f(a-h))/(2h) og s? hvordan vi kunne finne uttrykk for feilen basert p? Taylorpolynomer for f med restledd. Her fikk vi ikke nok tid, s? det henvises til kompendiet, men jeg legger kanskje ut en kort oppsummering av prinsippene.
Mandag 1/10. Foreleser: Knut Vi begynte med ? oppsummere enkelte l?se tr?der fra tidligere forelesninger: Grafisk framstilling av Newtons metode og sammenhengen mellom Taylorpolynomer og eksponensialfunksjoner med imagin?rt argument. Dessuten s? vi litt p? hva lyd er og hvordan lyd kan h?ndteres p? datamaskin med en del demonstrasjoner. TIl slutt s? vi p? noen metoder for numerisk derivasjon og integerasjon - dette vil si se n?yere p? i morgen.
Tirsdag 25/9. Foreleser: Geir Restledd p? Lagrangesform ble utledet og brukt i eksempler: feil i verdi av funksjon estimert med Taylorpolynom, bestemt integral tiln?rmet vha. Taylorpolynom og grenseverdier av br?ker ("0/0" uttrykk). Vi s? ogs? p? polynomene for ln(1+x), som har begrenset gyldighetsomr?de og der en m? ha med sv?rt mange ledd for ? f? god tiln?rmelse n?r x er n?r +-1.
Mandag 24/9. Foreleser: Geir Vi gjennomgikk definisjonen av og ideen bak Taylorpolynomer. Polynomene for eksponentialfunksjonen ble utledet og beregnet ved hjelp av et Pythonprogram (lagt ut p? hjemmesiden). Programmet bygde p? n?stet mutiplikasjon og demonstrerte at Taylorpolynomene i det gitte eksemplet kan gi gode tiln?rmelser til funksjonen. Til slutt ble Taylorpolynom med restledd p? integralform utledet.
Tirsdag 18/9. Foreleser: Knut Vi begynte med ? se p? halveringsmetoden for ? beregne nullpunkter (seksjon 5.3 i det norske kompendiet). Vi s? hvordan metoden kan kodes, inklusive passende stoppkriterier, og demonstrerte metoden i praksis (i Python). Vi diskuterte ogs? konvergens og hvordan vi kan regne ut hvor mange iterasjoner som er n?dvendige for ? oppn? en ?nsket n?yaktighet. Deretter s? vi raskt p? Newtons metode (seksjon 6.4 i det norske kompendiet og 7.3 i Kalkulus) og sekantmetoden. Til slutt s? vi p? prinsippene for interpolasjon med polynomer (seksjon 9.2.1 i det norske kompendiet). Interpolasjon med polynomer blir viktig n?r vi skal utlede metoder for ? beregne tiln?rminger til deriverte og integraler.
Mandag 17/9. Foreleser: Knut Mesteparten av forelesningen brukte vi til ? studere hvilken innvirkning avrundingsfeil i argumentet til en matematisk funksjon f?r p? de beregnede funksjonsverdiene n?r vi bruker flyttall. Det mest relevante feilm?let er relativ feil, og kondisjonstallet gir da et godt m?l p? hvor mange siffer vi mister i funksjonsberegningen. Dette stoffet er behandlet i seksjonene 5.1 og 6.1 i (det gamle) kompendiet. S?rlig viser eksempelet p? sidene 88-90 godt hvordan enkelte beregninger kan gi stor relativ feil. TIl slutt s? vi at det kan v?re behov for ? finne nullpunkter i ligninger numerisk, og vi definerte halveringsmetoden og Newtons metode. Mer om dette kommer i morgen.
Tirsdag 11/9. Foreleser: Geir Vi repeterte og fullf?rte l?sning av homogene differenslikninger fra kap 4.1. Deretter tok vi for oss en enkel inhomogen f?rsteordenslikning f?r vi skisserte regel 1 til 3 for inhomogene likninger fra kap. 4.2. Det ble bare tid til noen f? og enkle eksempler. I en litt forkortet andre time s? vi p? simulering av differensllikninger fra kompendiet og fikk demonstrert og diskutert en instabilitet grunnet avrundingsfeil. Lysark til denne siste delen ligger under hjemmesiden.
Mandag 10/9. Foreleser: Geir Vi definerte f?lger og gjennomgikk det meste om av teorien om l?sning av homogene differenslikninger i kap. 4.1. Tilfelle 3 gjenst?r til tirsdag og blir gjennomg?tt sammen med inhomogene likninger og simulering av differenslikninger. Tillitsstudenter ble ogs? utpekt.
Tirsdag 4/9. Foreleser: Knut Vi fortsatte der vi slapp i g?r og begynte med ? beskrive normalformen for reelle tall, b?de desimalt og bin?rt. Ut fra dette s? vi at tall kan lagres ved ? lagre dets mantisse og eksponent og vi beskrev hvordan dette gj?res med 64 bits flyttall og hvordan Python h?ndterer dette (alt dette er beskrevet i seksjon 4.2 i det nye kompendiet). Deretter s? vi p? hvordan aritmetikk, s?rlig addisjon, med flyttall foreg?r. VI s? p? eksempler som viste at det en lett kan f? avrundingsfeil ved flyttallsberegninger, og enkelte ganger kan feilen bli dramatisk. For ? se n?yere p? dette definerte vi absolutt og relativ feil (seksjon 2.4 i det gamle kompendiet). Dette skal vi bruke til ? analysere feilen ved beregning av matematiske funksjoner som polynomer og trigonometriske funskjoner (seksjon 6.1 i det gamle kompendiet). Dette rakk vi ikke, s? det kommer neste gang.
Mandag 3/9. Foreleser: Knut F?rst gjennomgikk vi kompletthetsprinsippet for reelle tall (seksjon 2.3 i Kalkulus). Dette er teoretisk stoff og det viktigste konsekvensen er at det ikke er huller p? tallinja. Vi s? ogs? p? aksiomene for de reelle tallene (seksjon 2.4 i Kalkulus). I andre time tok i for oss representasjon av reelle tall i ulike tallsystemer og viste at de fleste reelle tall krever uendelig mange siffer (seksjon 3.3 i det nye kompendiet).
Tirsdag 28/8. Foreleser: Knut. I dag var tema represetasjon av heltall p? datamaskin. Vi s? f?rst p? hvorfor det er fornuftig at datamaskiner arbeider med 0 og 1 internt. Deretter s? vi p? representasjon av heltall i ulike tallsystemer (siffersystemer) og hvordan vi kan konvertere mellom disse. Til slutt tok vi for oss representasjon ved hjelp av 32 bits heltall og hvordan Pythons grensesnitt til dette er. Dette stoffet finner du i seksjonene 3.2 og 4.1 i det nye kompendiet.
Mandag 27/8. Foreleser: Geir. I f?rste time gjennomgikk vi Pascals trekant og binomialformelen. Etter pause tok vi for oss kapittel 2.1 og 2.2 i Kalkulus; Tallmengder, definisjoner, trekantulikheten, irrasjonale og rasjonale tall, bevis for at kvadratroten av 2 ikke er rasjonal og Arkimedes prinsipp.
Tirsdag 21/8. Foreleser: Knut. Tema i dag var induksjon. I f?rste time gjennomgikk vi i detalj et induksjonsbevis for at formelen for de n f?rste heltallene er riktig. Dette er lagt ut p? denne siden. I andre time s? vi p? to eksempler fra Kalkulus, eksempel 1.2.4 og oppgave 1.2.4.
Mandag 20/8. Foreleser: Knut. F?rste time ble brukt til informasjon om kurset, studietips etc. I andre time gjennomgikk vi seksjon 1.1 i Kalkulus, inklusiv skifte av summasjonsindeks.