Her vil du finne korte oversikter over hva som er blitt gjennomg?tt p? forelesning. Rapportene er hovedsakelig ment som en hjelp til dem som ikke har kunnet v?re til stede p? en forelesning. Forelesningsplan for hele semesteret finner du her .
Mandag 21/8:
F?rste time brukte jeg til ? snakke litt om kurset og gi noen tips om studieteknikk. Jeg anbefalte spesielt "Idehefte om l?ringsstrategier i realfag" som mange av dere har f?tt (hvis du ikke har f?tt det, kan du laste det ned her ), men det kan ogs? v?re lurt ? se p? lenken R?d om ? studere MAT 1100 p? kursets hjemmeside. Innledningen til Kalkulus "? studere matematikk" kan det ogs? v?rt lurt ? kikke p? - i tillegg til generelle r?d, inneholder den en del stoff som kan gj?re det lettere ? lese matematikk.
Etter pausen begynte jeg p? seksjon 3.1 der jeg rakk ? vise hvordan man adderer, subtraherer og multipliserer komplekse tall. Neste gang starter jeg p? divisjon (fortsatt i sekajon 3.1).
Onsdag 23/8:
Jeg fortsatte gjennomgangen av komplekse tall ved ? snakke om divisjon og konjugering. Deretter begynte jeg p? den geometriske tolkningen av komplekse tall i seksjon 3.2. Etter ? ha forklart hvordan komplekse tall kan betraktes som punkter/vektorer i planet, p?viste jeg at addisjon og subtraksjon av komplekse tall er det samme som addisjon og subtraksjon av vektorer, og jeg viste at konjugasjon svarer til speiling om x-aksen. Deretter s? vi p? polarkoordinater, og jeg regnet et par eksempler av samme type som 3.2.1 og 3.2.2. Til slutt utledet jeg den geometriske tolkningen av kompleks multiplikasjon og regnet (det gikk litt vel fort!) et eksempel av samme type som 3.2.4. Jeg understreket at for ? regne effektivt med komplekse tall, trenger man gode ferdigheter i trigonometrien fra videreg?ende skole --- spesielt er det viktig ? kunne finne vinkler (i alle kvadranter) n?r sinus eller cosinus er kjent. Vi f?r mye bruk for de eksakte verdiene til sinus og cosinus til 30, 45 og 60 grader.
P? torsdag (husk det er forelesning i plenumsregningstiden!) avslutter jeg seksjon 3.2 og fortsetter med 3.3.
Torsdag 24/8:
Jeg fortsatte med den geometriske tolkningen av geometriske tall og snakket litt om divisjon, tallverditegn og trekantulikheten. Deretter begynte jeg p? seksjon 3.3 Etter ? ha definert den komplekse eksponentialfunksjonen, beviste jeg setning 3.3.4 og De Moivres formel, og gjennomgikk to eksempler av samme type som 3.2.6 og 3.2.8. Til slutt begynte jeg p? seksjon 3.4 der jeg definerte n-te r?tter og viste hvordan man kan finne kvadratr?ttene til et komplekst tall.
Mandag 28/8:
I dag snakket jeg om seksjon 3.4. Jeg viste f?rst hvordan man kan finne alle n-te r?tter til komplekse tall (setning 3.4.2) og regnet deretter to eksempler (fjerder?ttene til -4+4isqrt(3) og tredjer?tte til -8i). Deretter snakket jeg om komplekse annengradsligninger og fant l?sningene til z^2-2z+(1+i)=0 som et eksempel. Til slutt snakket jeg litt om setning 3.4.8 som er spesielt viltig for dem som tar MAT-INF 1100. P? onsdag fortsetter jeg med 3.5, og rekker kanskje ? si noen ord om kompletthetsprinsippet i seksjon 2.3 (dette er egentlig pensum i MAT-INF 1100 og ikke i MAT 1100, men vi trenger ? vite hva prinsippet er for ? gjennomf?re noen sentrale resonnementer).
Onsdag 30/8:
Jeg begynte med seksjon 3.5. Etter noen historiske betraktninger formulerte jeg algebraens fundamentalteorem og forklarte hvordan det kan tolkes til ? si at enhver n-te grads ligning har n?yaktig n komplekse r?tter n?r de telles med multiplisitet. Jeg viste deretter at de komplekse r?ttene til et reelt polynom kommer i konjugerte par, og brukte dette til ? vise at ethvert reelt polynom kan faktoriseres i reelle f?rste- og annengradsfaktorer (setning 3.5.6). Deretter forflyttet jeg meg til seksjon 2.3 der jeg forklarte kompletthetsprinsippet og ga et uformelt argument for at det er riktig (se side 94 i Kalkulus). P? torsdag gjennomg?r vi seksjon 1.5 om polynomdivisjon (med en liten snartur tilbake til algebraens fundamentalteorem). HUSK at dette foreg?r i rommene til plenumsregningen. P? mandag begynner jeg p? seksjon 4.3.
Torsdag 31/8:
I dag var det to parallelle forelesninger siden Sophus Lie var opptatt. Her kommer et referat fra hver forelesning:
Forelesning i Store fysiske auditorium (ved Inger Christin Borge): :Sa litt om tall(systemer), slik at vi hadde en analogi ? referere til n?r vi tok for oss polynomer. Fin diskusjon om divisjon av tall (men kanskje ikke s? supert eksempel? 123:6). Definerte polynomer (reelle og komplekse) og graden (som sier noe om st?rrelsen). Tok eksempel 4x^2+11x-3:x+2 grundig. Og ogs? et 7. gradspolynom dividert med et 2. gradspolynom for ? f? inn teknikken. Ga et eksempel p? hvordan dette kan brukes til ? integrere rasjonale funksjoner.
2. time startet med oppsummering i form av Setning 1.5.2., og deretter gikk vi p? l?sning av likninger. Tok Eksempel 1.5.4 og beviste Setning 1.5.5 i detalj (bruker Setning 1.5.2). Nytt eksempel: l?ste likningen 2x^3-x^2-13x-6=0 ved ? gjette p? l?sninger og polynomdividere. Svar: x=3,-2 og -1/2. Vi avsluttet med ? hoppe til komplekse tall og tok Oppgave 3.5.5 (hvor vi bruker at for et reelt polynom opptrer komplekse r?tter i konjugerte par, og deretter polynomdividerte for ? finne faktoriseringene).
Forelesning i aud. 3, Kristine Bonnevies hus (ved Tom Lindstr?m): Viste f?rst teknikken p? eksemplet 2x^4+3x^3-x^2+5x-4 : x^2+2x-1, og skrev opp setning 1.5.2. Deretter brukte jeg polynomdivisjon til ? regne ut integralet av (x^2+2x+3)/(x-2). Beviste deretter setning 1.5.5 og tok et kort eksempel f?r pause.
Etter pause regnet jeg f?rst et eksempel der vi fant alle r?ttene til P(x)=x^3+2x^2-x-2. Vi observerte f?rst at P(1)=0, s? x=1 er en rot. Vi delte deretter P(x) p? x-1 og fikk x^2+3x+2. Dette betyr at P(x)=(x-1)(x^2+3x+2). For ? faktorisere x^2+3x+2, l?ste vi s? ligningen x^2+3x+2=0, og fikk x=-1 og x=-2. Det betyr at P(x)=(x-1)(x+1)(x+2), s? r?ttene til P(x) er 1, -1, -2. Til slutt s? vi p? et eksempel med komplekse tall (3.5.7 er et annet av samme type). Vi ?nsket ? faktorisere polynomet P(z)=z^3-2z^2+3z+4. Vi sjekket f?rst ved innsetning at 1+2i er en rot. Siden polynomet er reelt, betyr det at 1-2i ogs? er en rot. Ganger vi sammen (z-(1+2i)(z-(1-2i)) f?r vi z^2-2z+5. Deler vi P(z) p? z^2-2z+5, f?r vi z+1. Dette gir den reelle faktoriseringen P(z)=(z+1)(z^2-2z+5) og den reelle faktoriseringen P(z)=(z+1)(z-(1+2i))(z-(1-2i)).
Mandag 4/9:
I dag brukte vi mesteparten av tiden p? seksjon 4.3. Jeg definerte f?rst hva en f?lge er (dette st?r helt foran i kapittel 4, f?r seksjon 4.3), og tok noen enkle eksempler. Deretter definerte jeg komvergens av f?lger (definisjon 4.3.1). Det kan v?re bryet verd ? bruke litt tid p? denne definisjonen selv om den sikkert er litt fremmedartet - den er et enkelt eksempel p? en type definisjonen du kommer til ? m?te ofte i dette og andre kurs. Som et eksempel viste jeg hvordan man kan bruke definisjonen til ? vise at (n^3+3n)/n^3 konvergerer mot 1. Deretter skrev jeg opp regnereglene 4.3.3 og viste hvordan de kan brukes gjennom et eksempel av samme type som 4.3.4. Jeg regnet ogs? to eksempler med teknikken i eksempel 4.3.5; ett hvor svaret ble endelig og ett hvor det ble uendelig. Deretter fant jeg grenseverdien til sqrt(n^2+n) - n som et eksempel p? knepet i eksempel 4.3.8 (svaret er 1/2). Etter ? ha definert monotone og begrensede f?lger, beviste jeg teorem 4.3.9, som blir et nyttig verkt?y for oss senere.
Helt til slutt begynte jeg s? vidt p? kapittel 5, og snakket litt generelt om funksjonsbegrepet (tilsvarende de f?rste tre sidene i kap. 5 i boken). Neste gang begynner jeg med definisjon 5.1.1. Det er spesielt viktig at alle fors?ker ? lese gjennom stoffet p? forh?nd neste gang - ellers kan det bli vanskelig ? henge med!
Seks stykker meldte seg til tillitsmannsordningen og ble mottatt med takk! Navn og e-postadresser blir lagt ut n?r mailadressen er sjekket.
Onsdag 6/9:
Vi begynte p? seksjon 5.1. Etter litt innledende motivasjon definerte jeg kontinuitet som i definisjon 5.1.1 og regnet deretter to eksempler av samme type som 5.1.2 og 5.1.3. Jeg formulerte 5.1.5 og 5.1.7 uten bevis og gjennomgikk et eksempel av samme type som 5.1.6/5.1.8. Jeg understreket at n?r man bare blir spurt om ? vise at en fumksjon er kontinuerlig, kan man selvf?lgelig bruke alle resultater i boken, men hvis man blir bedt om ? bruke definisjonen til ? vise at noe er kontinuerlig, s? m? man til med epsilon og delta. Etter ? ha formulert setning 5.1.10 og bevist f?rste halvdel, avsluttet jeg seksjon 5.1 med definisjon 5.1.11. Helt til slutt formulerte jeg skj?ringssetninge (5.2.1) og gjennomgikk beviset, men rakk dessverre ikke noen eksempler. De f?rste eksemplene i denne seksjonen er imidlertid s? enkle at dere b?r kunne lese dem selv. Jeg skal ta et litt mer avansert eksempel (av samme type som 5.2.4) p? mandag. Etter det fortsetter vi med seksjon 5.3 og 5.4.
Mandag 11/9:
Tung teori?kt i dag (det blir lettere snart!) Jeg viste f?rst et enkelt eksempel p? hvordan skj?ringssetningen kan brukes (viste at f(x)=e^x-3x har et nullpunkt mellom 0 og 1). Deretter beviste jeg korollar 5.2.2 og gjennomgikk oppgave 5.2.10 (dette er ganske likt eksempel 5.2.4). Resten av dagen brukte vi p? seksjon 5.3. Jeg definerte f?rst hva en begrenset funksjon er og beviste s? setning 5.3.2. Deretter definerte jeg maksimums- og minimumspunkter, og beviste ekstremalverdisetningen. Underveis tok jeg med et eksempel beslektet med 5.3.6. Neste gang tat vi seksjon 5.4 og seksjon 6.1.
Jeg har f?tt noen sp?rsm?l om man m? huske bevisene til eksamen. Svaret p? dette "nei" i den forstand at dere ikke vil bli "h?rt" i beviser til eksamen - jeg vil f.eks. aldri be dere om ? gjengi beviset for ekstremalverdisetningen. Det er allikevel lurt ? forst? bevisene fordi de kan inneholde ideer og teknikker dere kan f? bruk for p? en eksamen eller til en oblig (men ikke bli altfor redd; dette vil nok bare skje i de oppgavene vi regner som spesielt vanskelig og som bare dukker opp i begrenset antall!)
Onsdag 13/9:
I dag gikk vi gjennom seksjon 5.4 og 6.1. Etter ? definert grenseverdier skrev jeg opp regnereglene 5.4.3 og gikk gjennom noen eksempler. Deretter snakket jeg om ensidige grenser og gikk gjennom observasjon 5.4.7. Vi regnet et eksempel av samme type som 5.4.8. Deretter gikk vi over til seksjon 6.1 der jeg definerte den deriverte og viste hvordan man kan bruke definisjonen til ? finne den deriverte til f(x)=x^3 i punktet 2. Jeg gikk raskt gjennom regnereglene 6.1.3, 6.1.4 og 6.1.5 (dette regner vi med at dere kan!), og utledet deretter formelen for logaritmisk derivasjon og tok et eksempel. Helt til slutt (i litt tidsn?d) gjennomgikk jeg eksempel 6.1.8.
Mandag 18/9:
I dag gikk vi f?rst gjennom seksjon 6.2. Jeg beviste middelverdisetningen og gikk gjennom korollar 6.2.4 og 6.2.5. Som et eksempel viste jeg at funksjonen f(x)=e^x-3x har n?yaktig ett nullpunkt p? intervallet (0,1). Jeg viste ogs? hvordan man kan bruke middelverdisetningen til ? l?se oppgave 6.2.11b). Vi gikk s? over p? seksjon 6.4. Jeg skrev f?rst opp L'Hopitals regel (b?de for "0/0"- og "uendelig/uendelig"-uttrykk) og regnet en del eksempler av samme type som 6.3.3-6.3.11.
Onsdag 20/9:
Jeg gikk f?rst gjennom Cauchys middelverdisetning og beviste deretter L'Hopitals regel for "0/0"-uttrykk. Gikk s? gjennom et eksempel av samme type som 6.3.14. Begynte deretter p? seksjon 6.4. Dette er i stor grad kjent stoff, men jeg gikk raskt gjennom de grunnleggende tingene s? vi er enig om terminologi o.l. Brukte litt ekstra tid p? konvekse og konkave funksjoner. Formulerte setning 6.4.7, men beviste den ikke. S? raskt p? eksempel 6.4.8. Tok til slutt for meg funksjonen f(x)=x(x-1)^(1/3) og dr?ftet den (rakk ikke ? finne hvor den er konveks og hvor den er konkav).
Seksjon 6.5 er selvstudium (men jeg vil gi oppgaver til gruppene). P? mandag begynner jeg p? kapittel 7.
Mandag 25/9:
I dag gjennomgikk jeg seksjon 7.1 og 7.2. Her er det ingen ny teori, bare eksempler. Jeg gjennomgikk tre eksempler i hver seksjon, alle av omtrent samme type og vanskelighetsgrad som i boken. Onsdag begynner jeg p?
seksjon 7.4 og rekker kanskje litt av 7.6 (7.5 er selvstudium)
Onsdag 27/9:
Begynte p? seksjon 7.4. Etter litt motivasjon definerte jeg injektive funksjoner og understreket at den enkleste m?ten ? vise at en funksjon er injektiv p?, som regel er er ? vise at den er strengt monoton. Jeg definerte s? omvendt funksjon, og diskuterte de to m?tene for ? fremstille en omvendte funksjon grafisk. Deretter gikk vi gjennom teorem 7.4.5 (uten bevis) og 7.4.6 (med bevis). Jeg regnet ogs? et eksempel av samme type som 7.4.7. Til slutt begynte jeg p? seksjon 7.6 (den korte 7.5 er til selvstudium) der jeg rakk ? gjennomg? arcussinus (til og med setning 7.6.2) Som et eksempel regnet jeg ut den deriverte til f(x)=x arcsin(sqrt(x)). P? mandag fortsetter jeg med 7.6 og begynner p? kapittel 8. Vi er litt foran fremdriftsplanen.
Mandag 2/10:
Jeg minnet fort om definisjonen av arcsin, tegnet opp grafen, og laget en liten tabell av arcsin-verdier (arcsin til 0, 1/2, sqrt(2)/2, sqrt(3)/2, 1). Deretter regnet jeg ut grenseverdien av arcsin(x^2)/sin^2x n?r x g?r mot 0. Deretter gikk jeg raskt igjennom arccos; siden arccos x = pi/2-arcsin x er denne funksjonen "eegentlig" un?dvendig, men den er grei ? bruke i en del geometriske problemer. Jeg gikk s? over til arctan; definerte funksjonen, tegnet opp grafen og utledet formelen for den deriverte. Jeg laget ogs? en tabell av arctan-verdier (arctan til 0, sqrt(3)/3, 1, sqrt(3), pluss grenseverdiene av arctan n?r x g?r mot pluss og minus uendelig). Som et eksempel fant jeg asymptoten til f(x)=x arctan(x) n?r x g?r mot uendelig. Jeg regnet ogs? (en variant av) oppgave 7.6.14.
Etter pause begynte jeg p? seksjon 8.2. Etter litt motivasjon definert jeg ?vre og nedre trappesummer, og deretter definerte ?vre- og nedreintegraler. Til slutt definerte jeg integrerbar funksjon og integralet (definisjon 8.2.1) og skissert raskt en ikke-integrerbar funksjon som i eksempel 8.2.2. Neste gang avslutter jeg seksjon 8.2 og fortsetter p? 8.3.
Onsdag 4/10:
I dag arbeidet vi med seksjon 8.3. Etter litt innledende motivasjon, gjennomgikk det uformelle argumentet for at derivasjon og integrasjon er omvendte regningsarter (side 373-374 i boken). Deretter skrev jeg opp setning 8.3.1 uten bevis, definerte antiderivert og beviste lemma 8.3.2. Deretter formulerte og beviste jeg analysens fundamentalteorem. Etter pause snakket jeg om korollar 8.3.4 og regnet et eksempel av samme type som 8.3.5 og et av samme type som 8.3.7. Anvendelser som i eksempel 8.3.6 skal vi snakke om senere - det er ikke n?dvendig ? jobbe med dem f?r underveiseksamen.
Til slutt snakket jeg litt om eksameen. Husk ? unders?k hvor du skal sitte (se studentweb), og unders?k hvor rommet er p? forh?nd. Husk at det er ingen tillatte hjelpemidler (heller ikke kalkulator) p? eksamen, men at formelarket vil bli delt ut med oppgavene. LYKKE TIL!
Mandag 16/10:
Begynte med seksjon 8.4 der jeg innf?rte det ubestemte integralet, gikk gjennom regnereglene p? side 386 og 387, og beviste setning 8.4.5. Regnet ogs? et eksempel av samme type som 8.4.6. Deretter gikk jeg l?s p? seksjon 8.5. Det viktigste her er ? vite hva Riemann-summer og forst? hvordan de kan brukes til ? sette opp integraler i praksis. Korollar
8.5.4 oppsummerer det du beh?ver ? vite. Resten av dagen brukte jeg p? seksjon 8.6. Jeg gikk gjennom arealberegninger samt volumer til omdreiningslegemer rundt x- og y-aksen. Jeg la spesielt vekt p? ? vise hvordan man bruker trappesummer og Riemann-summer til ? komme frem til formlene. P? onsdag snakker jeg om buelengde og begynner deretter p? seksjon 9.1 (delvis integrasjon).
Onsdag 18/10:
Avsluttet kapittel 8 ved ? utlede formelen for buelengde og anvende den p? funksjonen f(x)= (e^x + e^(-x))/2. Resten av tiden snakket jeg om delvis integrasjon. Etter ? ha utledet formelen regnet jeg eksempler av samme type som dem i boken. Pr?vde ? legge vekt p? tenkem?ten - hva ser man etter n?r man vil l?se et integral ved delvis integrasjon. Avsluttet med ? finne en rekursjonsformel for integralet til (ln x)^n.
Mandag 23/10:
Snakket f?rst om substitusjon. Etter ? ha utledet formelen i 9.2.3 regnet jeg en del eksempler, blant annet et med bestemte integraler. Begynte deretter p? seksjon 9.3 om delbr?koppspalting. Her regnet jeg f?rst et eksempel for ? illustrere hvordan vi kan bruke polynomdivisjon for ? forenkle et integral, deretter regnet jeg et eksempel av samme type som 9.3.1. Jeg begynte deretter p? det generelle oppsettet for delbr?koppspalting (?verst p? side 447), men det f?r vi ta i st?rre detalj neste gang. Det blir mindre kaotisk n?r vi pr?ver det p? et eksempel!
Onsdag 25/10:
Fortsatte arbeidet med delbr?koppspalting. Gikk f?rst gjennom et eksempel av samme type som 9.3.3 og deretter et av samme type som 9.3.4. Vi tok s? for oss integraler av typen (Ax+B)/(x^2+ax+b) - f?rst et eksempel av typen 9.3.5 og s? to av typen 9.3.6. P? mandag kommer jeg til ? avslutte avsnittet om delbr?koppspsltingen med en liten oppsummering f?r vi g?r l?s p? seksjon 9.5 (9.4 er ikke pensum). Integraler av typen (Ax+B)/(x^2+ax+b)^m der m er st?rre enn 1 er ikke aktuelle til eksamen (men det er greit ? vite at en l?sningsmetode finnes).
Mandag 30/10:
Gikk systematisk gjennom alle skrittene i delbr?koppspalting med integralet av (2x^2+3x+3)/(x-1)(x^2+2x+5) som eksempel. Begynte deretter p? seksjon 9.5 om uegentlige integraler (seksjon 9.4 er ikke pensum, men inneholder eksempler det kan v?re lurt ? kikke p? om man har kapasitet). Her fulgte jeg fremstillingen i boka ganske tett. V?r oppmerksom p? at det bare er stoffet til og med definisjon 9.5.9 som er pensum. Helt til slutt regnet jeg oppgave 9.3.34 som et eksempel p? et integral som kan l?ses ved delbr?koppspalting etter en substitusjon. P? onsdag begynner jeg p? heftet om funksjoner av flere varable.
Onsdag 1/11:
I dag gjennomgikk jeg seksjon 1.1-1.3 i heftet om flervariabel analyse. Fulgte teksten ganske n?ye, men la mindre vekt p? seksjon 1.3 --- dette er stoff som er greit ? vite om, men som ikke kommer til ? st? sentralt i resten av kurset. P? mandag fortsetter jeg med seksjon 1.4 og 1.5.
Mandag 6/11:
Definerte f?rst matriser og s? hvordan disse kan adderes, subtraheres og multipliseres med skalar. Brukte s? et eksempel med trafikkflyt inn og ut av et veikryss til ? motivere multiplikasjon mellom en matrise og en vektor. Jeg la vekt p? transformasjonsideen - multiplikasjon med matriser transformerer en vektor til en annen vektor. Med utgangspunkt i denne ideen forklarte jeg tanken bak matrisemultiplikasjon og skrev (uten utledning) opp definisjonen. Regnet to eksenpler - det siste illustrerte at for matriser er generelt AB og BA forskjellige.
Neste gang gjennomg?r jeg regnereglene for matrisemultiplikasjon (setning 1.5.2), og g?r deretter l?s p? seksjon 1.6.
Onsdag 8/11:
I dag fortsatte vi med matrisemultiplikasjon. Jeg skrev f?rst opp regnereglene 1.5.2 og kommenterte disse litt. Gikk ogs? gjennom eksempel 3 i seksjon 1.5. Deretter begynte jeg p? seksjon 1.6 der jeg f?rst definerte identitetsmatriser. Gjennom et eksempel fikk jeg frem av AIn=A og InA=A for alle matriser A. Jeg definerte s? inverse matriser og tok et enkelt eksempel der man bare skulle verifisere at to matriser er inverse. Viste s? at en matrise har h?yst en invers og skrev opp regnereglerne 1.6.4. Gikk gjennom beviset for punkt (ii). Til slutt regnet jeg et eksempel av samme type som eksempel 2 i heftet. Forelesningen ble litt kortere enn vanlig p? grunn av en sp?rreunders?kelse (Stud Mag) i pausen. P? mandag begynner vi p? kapittel 2 i heftet.
Mandag 13/11:
Etter ? ha reklamert for regnel?rdagen 25/11, snakket jeg f?rst litt om topologi. Definerte indre punkter, ytre punkter og randpunkter, og deretter ?pne og lukkede mengder. Gikk s? over til ? snakke om funksjoner av flere variable. Ga f?rst noen eksempler av samme type som i heftet (det er en litt forvirrende trykkfeil p? side 48 der funksjonene G1, G2 og G3 bare skal ha to variable x,y som G selv). Jeg la litt vekt p? figurer av den typen du finner p? side 58 i heftet; de hjelper en ofte ? holde oversikt. Begynte deretter p? kontinuitet (seksjon 2.2). Skrev opp (og illustrerte) definisjonen, gikk gjennom setning 2.2.2, 2.2.3 og 2.2.4 uten bevis, og gjennomf?rte i detalj et eksempel av samme type som eksempel 1 i boken. Avsluttet med ? gjennomg? eksempel 2 (side 61). Jeg hoppet over stoffet om f?lger - det m? dere lese p? egen h?nd.
Onsdag 15/11:
Jeg gikk f?rst raskt gjennom seksjon 2.3 om grenseverdier: Definerte opphopningspunkt, grenseverdi og skrev opp setning 2.3.5 om sammenhengen mellom grenseverdier og kontinuitet. S? begynte jeg p? seksjon 2.4 om derivasjon av skalarfeltet. Dette er nok den viktigste seksjonen i heftet - partielldefinerte dukker opp i nesten alle kurs dere kommer borti senere, og det er viktig b?de ? kunne regne med dem og ? forst? hva de betyr i ulike sammenhenger. Jeg definerte f?rst retningsderivert og gikk gjennom et eksempel av samme type som eksempel 1 i heftet. Deretter innf?rte jeg partiellderverte og forklarte hvordan vi kan finne disse ved ? derivere mhp. en variabel mens vi later som de andre er konstanter. Regnet s? et et eksemperl der vi fant de partiellderiverte til en funksjon av tre variable. Jeg innf?rte gradienten og gjennomgikk regningene p? side 70 og 71 i heftet. Til slutt definerte jeg deriverbarhet og beviste setning 2.4.5. P? mandag gj?r jeg meg ferdig med seksjon 2.4, g?r raskt gjennom 2.5 og fortsetter s? p? 2.6. Vi er dessverre litt etter tidsplanen.
Mandag 20/11:
Jeg avsluttet seksjon 2.4 ved ? snakke litt om teorem 2.4.6 og setning 2.4.8 (uten bevis). Jeg regnet ogs? et eksempel av samme type som eksempel 4 p? side 73. Vi gikk s? raskt gjennom seksjon 2.4. Jeg regnet f?rst et eksempel av samme type som eksempel 1 og nevnte deretter setning 2.5.1 (uten bevis). Deretter tok vi fatt p? seksjon 2.6. Jeg definerte Jacobi-matrisen og regnet et eksempel av samme type som eksempel 1 p? side 83. Deretter gikk jeg raskt gjennom definisjon 2.6.1 og nevnte i samme ?ndedrag setning 2.6.2. Mesteparten av annen time ble brukt p? seksjon 2.7 (kjerneregelen). Dette er sentralt stoff! Jeg skrev opp kjerneregelen p? komponentform (formel (2.7.2)), og regnet et eksempel av samme type som eksempel 1. Helt til slutt presenterte jeg kjerneregelen p? matriseform. P? onsdag snakker jeg litt mer om kjerneregelen f?r vi g?r l?s p? seksjon 2.8 og 2.9. Vi er fortsatt litt etter planen ? m? nok bruke litt tid neste mandag p? ? gjennomg? nytt stoff (men jeg tror ikke det blir s? mye).
Onsdag 22/11:
Formulerte f?rst kjerneregelen p? matriseform presist, og viste deretter hvordan man f?r komponentformen ved ? utf?re matrisemultiplikasjon. Fors?kte deretter ? gi en uformell begrunnelse for kjerneregelen p? komponentform ved ? se p? tilfellet h(x1,x2)=f(g1(x1,x2),g2(x1,x2))
Jeg begynte s? p? seksjon 2.8 der jeg definerte line?ravbildninger, beviste lemma 2.8.2, setning 2.8.3 og setning 2.8.4. Gikk deretter gjennom eksempel 3. Helt til slutt snakket jeg litt om egenverdier og egenvektorer. Dessverre ble det litt notasjonsmessig tull med x'er og v'er i definisjonen - se definisjon 2.8.5 i heftet for ? f? den riktig.
Det har v?rt litt for h?yt tempo p? forelesningene i det siste (og pensum er ogs? litt i st?rste laget), s? jeg skal pr?ve ? lage en oversikt over hva som er det viktigste ? kunne.
Mandag 27/11:
Avsluttet pensumgjennomgangen med ? snakke litt om affinavbildninger, spesielt om lineariseringen til en funksjon (uten ? komme inn p? bevisene). Deretter begynte jeg p? repetisjonen. Nevnte s? vidt polynomdivisjon (seksjon 1.5), men gikk s? l?s p? komplekse tall der jeg la spesiell vekt p? seksjon 3.4 og 3.5 (rotutdragning og faktorisering). Hoppet over kapittel 4 og gikk direkte til kapittel 5. Her nevnte jeg skj?ringssetningen og ekstremalverdisetningen, og la spesielt vekt p? at n?r man skal vise at en funksjon f er kontinuerlig i et "problematisk" punkt a, er det ofte mest praktisk ? sjekke om f(x) g?r mot f(a) n?r x g?r mot a. Som et eksempel sjekket jeg kontiniutetet i 0 til funksjonen f gitt ved f(x)=(e^x-1)/x for x ulik 0, og f(0)=1. Gikk deretter over til kapittel 6 om deriverbarhet. Skrev opp definisjonen og viste hvordan den kan brukes til ? finne den deriverte i 0 fil funksjonen f ovenfor. Skrev opp middelverdisetningen. Snakket litt om L'Hopitals regel, men nevnte ogs? at man ikke m? glemme andre "grensetriks" som "? gange med den konjugerte oppe og ned". Avsluttet med noen ord om konvekse og konkave funksjoner.
Onsdag 29/11:
Fortsatte repetisjonen med kapittel 7 i "Kalkulus". Nevnte f?rst uoppstilte maks/min-problemer og koblede hastigheter uten ? regne eksempler. Snakker deretter om omvendte funksjoner der jeg la spesiell vekt p? formelen g'(y)=1/f'(x). Skrev opp de deriverte til arcusfunksjonene og cotangens. Gikk s? l?s p? integrasjon der jeg skrev opp analysens fundamentalteorem og formlene for volumer av omdreiningslegemer og buelengde (de siste er lagt inn i den nye versjonen av formelarket). Deretter gikk vi over p? integrasjonsteknikk. Under delvis integrasjon nevnte jeg at denne teknikken er spesielt nyttig n?r integralet inneholder en faktor som blir enklere ved derivajon (f.eks. x^n, ln, arctan, arcsin), men jeg regnet ogs? integralet av e^x cos x som et eksempel p? et integral som "g?r i sirkel" p? en fruktbar m?te. Under substitusjon regnet jeg integralet av e^arcsin x som eksempel p? en "panikksubstitusjon" (vi setter u=arcsin x og h?per p? det beste!). Jeg ga en rask oversikt over trinnene i delbr?koppspalting. Deretter avsluttet jeg repetisjonen fra "Kalkulus" ved ? g? raskt gjennom uegentlige integraler.
Begynte s? p? repetisjon av flervariabel og line?r algebra. Skrev opp Schwarz' ulikhet og trekantulikheten og nevnte de algebraiske beskrivelsene av at vektorer er parallelle eller st?r normalt p? hverandre. Snakket litt om matrisemultiplikasjon med spesiell vekt p? ideen om at matriser "transformerer" vektorer. Sa ogs? noen ord om inverse matriser.
I kapitlet om funksjoner av flere variable la jeg spesielt vekten p? derivasjon i ulike avskygninger - jeg gikk gjennom retningsderiverte, partiellderiverte og gradienter. Husk at den raskeste m?ten ? finne en retningsderivert p?, som regel er ? finne gradienten og ta skalarprodukktet med retningsvektoren. Jeg sa ogs? noen ord om Jacobi-matriser, og gikk gjennom kjerneregelen b?de p? matrise- og komponentform. Til slutt sa jeg noen ord om line?ravbildninger. Minte spesielt om hvordan man finner matrisen til en line?ravbildning og om hva egenvektorer og egenverdier er.
Helt til slutt sa jeg noen ord om eksamen (se eksamenssiden ) og ?nsket alle *LYKKE TIL!"