Her finner du korte rapporter fra forelesningene. Hovedhensikten er at de som ikke har v?rt til stede p? en forelesning, skal kunne se hva som er gjennomg?tt og hvordan vektleggingen har v?rt. Kanskje rapportene ogs? vil v?re til nytte under repetisjonen.
Mandag 23. august
Jeg startet med ? introduser i=sqrt(-1), og de komplekse tallene z=a+ib. Deretter gjennomgikk jeg addisjon, multiplikasjon og divisjon av komplekse tall. Introduserte den komplekskonjugerte, og det komplekse planet. Bruk av polarkoordinater. Definisjon av den eksponensialfunksjonen med et komplekst argument.
Onsdag 25. august
Jeg fortsatte med eksponensialfunksjonen, og viste at exp(z+w)=exp(z)exp(w) for komplekse z og w. Viste deretter at z=r exp(i theta) er vanlig skriveform for polarkoordinater. Bruk av dette for ? finne formler for cos(n theta) og sin(n theta).
Hvordan opph?ye komlekse tall i et heltall, og hvordan finna alle n-te r?ttene av et komplekst tall. (Det blir litt mer om dette i morgen).
Torsdag 26. august
Jeg fortsatte med ? finne n-te r?tter av et komplekst tall. Deretter behandlet jeg 2dre gradsligninger, og viste at "den vanlige" formelen gjelder. S? gjennomgikk jeg polynomdivsjon (n? for komplekse polynomer), og hvordan man kan bruke dette for ? finne r?tter i et polynom (hvis noen r?tter er gitt). S? presenterte jeg algebraens fundamentalteorem (alle komplekse n-te gradspolynomer har n?yaktig n komplekse r?tter). Tilslutt viste jeg at for et reellt polynom: hvis r er en rot, s? er ogs? den komplekskonjugerte til r en rot.
Mandag 30. august
Jeg fortsatte med reelle polynomer, og viste all alle slike kan skrives som et produkt av reelle f?rste og andregradspolynomer. Brukte det til ? finne alle r?ttene i et 4. gradspolynom dersom en kompleks rot er gitt.
Etter pausen repeterte jeg induksjonbevis. S? startet jeg p? 4.3 og definerte konvergens av f?lger vha. "epsilon og N".
Onsdag 1. september
Jeg fortsatte ? snakke om f?lger, og beviste regneregler for konvergente f?lger (sum, produkt og divisjon). Deretter introduserte jeg monotone f?lger, og viste at oppad begrensede monotont ?kende f?lger er konvergente. S? regnet jeg et eksempel.
Mandag 6. september
Jeg forklarte kontinuitet av funksjoner (epsilon vs. delta). Viste at summer, produkter og kvotienter av kontinuerlige funksjoner blir kontinuerlig. Deretter det samme for sammensetninger. Gjennomgikk noen eksempler. Viste s? at "f(lim)=lim(f)" for kontinuerlige funksjoner.
Onsdag 8. september
Jeg viste skj?ringssetningen og fortsatte s? med grenser. Viste begrensethet av kontinuerlige funksjoner p? lukkede intervaller, samt eksistens av max/min punkter. Deretter snakket jeg om grenser for funksjoner, n?r grensepunktet ikke n?dvendigvis er med i definisjonsomr?det.
Mandag 13. september
Jeg fortsatte med grenser, viste noen regneregler, og regnet i detalj lim(sin(x)/x) og
lim((1-cos(x))/x^2). Definerte ensidige grenser, grenser n?r argumentet g?r mot uendelig og minus uendelig, og presiserte divergens mot uendelig og minus uendelig.
Onsdag 15. september
Jeg definerte den deriverte som en grense, og regnet noen eksempler direkte fra definisjonen. S? repeterte jeg regnereglene for derivasjon av produkt, sum etc. S? presenterte jeg kjerneregelen og beviste den. Til slutt regnet jeg et eksempel som lignet obligatorisk oppgave nr. 4.
Mandag 20. september
Jeg sa hvorfor deriverbare funksjoner er kontinuerlige. Deretter viste jeg Rolles teorem og middelverdisetningen. Resten av tiden gikk med til ? vise noen konsekvenser av denne. (Hvis f'>0, s? er f strengt voksende, hvis f'>=0, s? er f voksende, hvis f'=0 overalt, s? er f konstant).
Onsdag 22. september
Jeg presenterte Cauchys middelverdisetning og brukte denne til ? vise L'Hopitals regel for 0/0 uttrykk. S? regnet jeg noen eksempler. Deretter viste jeg L'Hopitals regel for uendelig/uendelig. S? regnet jeg flere eksempler.
Mandag 27. september
Jeg snakket om (lokale) maksima/minima, og om hvor vi skulle lete etter slike. Deretter introduserte jeg konvekse/kokave funksjoner, og hvordan disse kan karakteriseres ved ? se p? sekanter. S? viste jeg at f''>0 impliserer at f er konveks.
Tilslutt snakket jeg om asymptoter (sk?- og andre).
Mandag 4. oktober
Jeg snakket om injektive funksjoner av en variabel, og viste at dette var det samme som streng monotonisitet. S? introduserte jeg invers(omvendt)funksjonen, og viste en formel for den deriverte av inversfunksjonen. Deretter introduserte jeg arcusfunksjonene, dvs. de inverse av de trigonometriske funksjonene. Viste hva de deriverte til (noen av) disse var. S? regnet jeg eksempler, f. eks. formel for (cosh)^{-1}(x) for x>0.
Mandag 18. oktober
Jeg startet p? Kapittel 8, og rakk i Seksjon 8.3 nesten frem til formuleringen av analysens fundamentalteorem. Vi viste f?rst ved eksempler hvordan arealer og volumer kan tiln?rmes ved hjelp av summer. Vi fortsatte ved ? definere hva det generelt skal inneb?re at en funksjon er integrerbar, og viste blant annet at alle monotone funksjoner er integrerbare. Vi avsluttet med ? motivere at arealberegninger henger sammen med ? "antiderivere", det vil si ? gj?re det motsatte av derivasjon, og ? vise additivitet av ?vre- og nedreintegralet. Neste gang vil vi starte med vise at to antideriverte av samme funksjon skiller seg fra hverandre med kun en konstant, deretter vil vi formulere og bevise analysens fundamentalteorem, f?r vi g?r over p? flere anvendelser av integrasjon. ?yvind
Onsdag 20. oktober
Vi rakk frem til Seksjon 8.6. Vi startet med ? etablere resten av forutsetningene for ? bevise analysens fundamentalteorem, s? som unikhet av antideriverte av funksjoner, og additivitet av ?vreintegralet og nedreintregralet. Deretter formulerte vi og beviste fundamentalteoremet, og viste bruk av det ved eksempler. Vi definerte deretter det ubestemte integralet, og etablerte flere kjente setninger som bruker det. Vi definerte til slutt Riemann-integralet, som er en litt annen m?te ? definere integralet p?, og forklarte (uten bevis) at dette integralet er ekvivalent med det vi allerede har definert. ?yvind
Mandag 25. oktober
Jeg snakket om tolkninger av integralet: areal under graf, volum av rotasjonslegmer (om b?de x- og y-aksen), buelengde. S? viste jeg formelen for delvisintegrasjon, og regnet et eksempel p? dette.
Onsdag 27. oktober
Jeg fortsatte med delvisintegrasjon, og regnet mange eksempler. S? viste jeg formelen for variabelskifte (omvendt kjerneregel!) i flere varianter. Deretter regnet jeg mange eksempler der jeg brukte dette. Tilslutt snakket jeg litt om delbr?koppspalting.
Mandag 1. november
Jeg gjennomgikk delbr?ksoppspalting. Dette ble gjort ved eksempler. F?rst gjennomgikk jeg oppspaltingen selv, deretter hvordan vi integrerer resultatet.
Onsdag 3. november
Jeg gjennomgikk uegentlige integraler, seksjon 9.5. Slike integraler er definert som en grense, og jeg viste flere eksempler, spesiellt p? integraler av 1/x^p (enten fra 0 til 1 eller fra 1 til uendelig). S? viste jeg sammenligningskriteriet og grensesammenligningskriteriet for ? vurdere n?r et uegentlig integral er konvergent.
Mandag 8. november
Jeg startet med ? gi litt hjelp til noen av oppgavene p? oblig2 . Deretter begynte jeg p? FVLA, og gjennomikk stoffet til og med Schwartz' ulikhet. (setning 1.2.3). Det som jeg dekket var defninisjon av n-tupler, og regneoperasjoner (multiplikasjon med tall og addisjon). Deretter definerte jeg prikk-produktet og lengden til n-tupler, samt vinkelen mellom to n-tupler.
Onsdag10. november
Jeg fortsatte i Seksjon 1.2 med ? formulere og bevise trekantulikheten, og fortsatte p? komplekse n-tupler i Seksjon 1.3. Der gikk vi gjennom hvordan prikkproduktet er definert for komplekse n-tupler, forklarte regnereglene for slike, og hva som er forskjellige fra regnereglene for reelle n-tupler.Vi definerte ogs? ortogonalitet, og forklarte at Pythagoras, Schwarz- og trekantulikheten ogs? gjelder for komplekse n-tupler. Deretter definerte vi vektorproduktet, og gikk gjennom regnereglene for denne. Vi ga ogs? en geometrisk tolkning av vektorproduktet ved areal, ortogonalitet, og h?yreh?ndsregelen, og avsluttet med ? bruke vektorproduktet til ? regne ut et areal av en trekant med tre gitte hj?rner. Neste gang starter vi med ? avslutte Seksjon 1.4 med et eksempel p? bruk av vektorproduktet i volumberegning, f?r vi g?r videre p? matriser i Seksjon 1.5. ?yvind.
Mandag 15. november
Jeg snakket litt om geometrisk tolkning av kryssprodukt (areal av paralellogram, volum av paralellepiped c-prikk (a kryss b)). Deretter begynt jeg p? matriser, definerte matrise vektor og matrise matrise multiplikasjon, transponertmatriser osv. Tilslutt nevnte jeg definisjonen av den inverse til en matrise. Mer om dette onsdag.
Onsdag 17. november
Jeg fortsatte med inversmatriser, og viste sammenhengen med l?sning av line?re ligninger. Deretter regnet jeg noen eksempler, og viste at ikke alle matriser har inverser. S? fortsatte jeg med determinanter av 2x2 og 3x3 matriser. Viste at arealet av paralellogrammet utspent av to vektorer er absoluttverdien av determinanten, og at volumet av paralellepipeded utspent av 3 vektorer er absoluttverdien av determinanten.
Deretter begynte jeg p? kapitel 2 i FVLA, funksjoner av flere variable: Definerte kontinuitet og viste at prikkproduktet av to kontinunerlige funksjoner blir kontinuerlig.
Mandag 22. november
Jeg fortsatte med kontinuitet, og viste noen eksempler p? kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner. Deretter definerte jeg retningsderivert, og regnet noen eksempler. S? definerte jeg partiellderiverte, og viste sammenhengen "grad(f(a)prikk r=retningsderivert til f i a i retning r" for deriverbare funksjoner. (som hadde en egen definisjon). Tilslutt viste jeg at hvis de partiellderiverte eksisterer og er kontinuerlige, s? er funksjonen deriverbar.
Onsdag 24. november
Jeg fortsatte med sammenhengen mellom gradientvektor og retningsderivert, og viste at gradienten gir den retningen der funksjonen vokser hurtigst. S? introduserte jeg h?yere ordens deriverte, og viste at rekkef?lgen p? derivasjonene ikke spiller noen rolle hvis de partiellderiverte er kontinuerlige. Tilslutt snakket jeg litt om deriverte til vektorevaluerte funksjoner, og definerte Jacobimatrisen. Dermed var pensum gjennomg?tt!