P? denne siden skal vi se litt n?rmere p? de ulike delene av pensum. Jeg skal pr?ve ? si litt om hensikten med de forskjellige kapitlene og ogs? litt om hvor du kan f? bruk for l?rdommen videre i studiet. I tillegg vil jeg til hvert kapittel gi tips om popul?rvitenskapelig litteratur som det kan v?re morsomt ? kikke p? (de fleste b?kene finner du p? Realfagsbiblioteket). Selv om de historiske epistlene i l?reboken ikke er pensum, vil jeg oppfordre alle til ? ta en titt p? dem. Mange opplever at matematikk blir lettere ? forholde seg til n?r man vet litt om hvordan den har oppst?tt.
Pensum fra “Kalkulus”
Kapittel 3: Komplekse tall
Har du noen gang hatt lyst til ? ta kvadratroten av minus 1? Etter ? ha lest dette kapittelet har du lov! Tall som fremkommer etter at vi har tatt kvadratroten av negative tall, kalles komplekse tall. De er viktige i mange sammenhenger, b?de i matematikk og i andre fag. Det mest sl?ende eksempelet er kanskje kvantemekanikk (FYS 2140) der komplekse tall spiller en helt grunnleggende rolle. De komplekse tallene er ogs? viktige i de mer teknologiske delene av informatikkfaget (f.eks. signalbehandling), og de er et viktig regneverkt?y i fag som mekanikk og geofysikk. Innenfor matematikken hjelper de komplekse tallene oss ofte ? skape enhet og sammenheng (eksempler p? dette f?r du se i seksjone 3.3, 3.5, 4.1 og 10.4). I videreg?ende vektorregning (det som kalles line?r algebra) spiller komplekse tall en viktig rolle. Enda mer sl?ende er bruken av komplekse tall i tallteori (der det viser ? v?re en n?r forbindelse mellom komplekse funksjoner og fordelingen av primtall), men det er litt for avansert for dette kurset.
Du f?r ikke brukt komplekse tall noe s?rlig i dette kurset, men i MAT-INF 1100 dukker de opp i forbindelse med differensligninger og differensialligninger.
Seksjon 3.1: Her regner vi med komplekse tall p? en “intuitiv” m?te og ser hva slags resultater vi kommer frem til.
Seksjon 3.2: I dette avsnittet l?rer vi en geometrisk tolkning av komplekse tall som rettferdiggj?r de regnereglene vi fant i forrige seksjon. Det er denne geometriske tolkningen som er grunnlaget for de spennende anvendelsene av komplekse tall.
Seksjon 3.3: Det finnes en mystisk sammenheng mellom eksponentialfunksjonen til komplekse tall og de trigonometriske funksjone sinus og cosinus.
Seksjon 3.4: Her skal vi l?re ? trekke ut r?tter (kvadratr?tter, tredjer?tter osv.) av komplekse tall. Boken gj?r ganske mye ut av dette, men vi skal stort sett begrense oss til kvadratr?tter.
Seksjon 3.5: Dette er et teoretisk avsnitt om l?sningene til n-te gradsligninger. Det viser seg at om du teller riktig, vil en n-te gradsligning alltid ha n?yaktig n l?sninger! Det er viktig ? kjenne (og kunne bruke!) noen av resultatene i dette avsnittet, men ellers f?r vi ta det som orienteringsstoff.
Litteraturtips til kapittel 3:
Paul J. Nachin: An imaginary tale. The story of the square root of -1. Princeton University Press, Princeton, 1998. En ganske ny og spennede bok om komplekse tall. Vanskelighetsgraden varierer en del, men det er mye som er lesbart for alle.
Finn Holme: Komplekse tall, Gyldendal, Oslo, 1993, 48 sider. En innf?ring i komplekse tall med mange morsomme og utfordrende oppgaver.
Torgeir Onstad: Likningenes historie – fra Babel til Abel, NKS fjernundervisning, 1993, 105 sider. Velskrevet og l?rerikt om ligningenes historie. Inneholder mye matematikk fra forskjellige tidsaldre. Her kan du for eksempel l?re hvordan de italienske renessansematematikerne l?ste tredje- og fjerdegradsligninger.
Peter Pesic: Abel’s Proof. An Essay on the Sources and Meaning of Mathematical Unsolvability, MIT Press, Cambridge, MA, 2003, 213 sider. Handler om ligningsteori med hovedvekt p? tiden fra 1500 frem til Abel og hans etterf?lger Galois. Legger hovedvekten p? det historiske, men pr?ver ogs? ? forklare en del av matematikken uten at jeg synes han lykkes like godt bestandig. Allikevel absolutt verd ? lese.
Kapittel 4: F?lger
Dette kapittelet best?r egentlig av to deler — seksjonene 4.1-4.2 som handler om differensligninger og seksjon 4.3 som handler om konvergens av f?lger. De to f?rste seksjonene h?rer til MAT-INF 1100 (her f?r du blant annet se komplekse tall i aksjon), mens vi skal konsentrere oss om seksjon 4.3
Seksjon 4.3. Konvergente f?lger er et viktig redskap gjennom store deler av kurset, s?rlig i kapittel 5 og 6. Definisjon 4.3.1 er viktig. Selv om den kan v?re problematisk ? forst?, er den verd ? sl?ss litt med siden den danner m?nster for mange lignende definisjoner senere.
Litteraturtips til kapittel 4:
Kaos er et nytt, tverrfaglig forskningsomr?de som involverer mange vitenskaper og der f?lger st?r sentralt. Nedenfor finner du tre gode, popul?rvitenskapelige b?ker om kaos. Mer matematiske b?ker finner du i litteraturtipsene til kapittel 6.
James Gleick: Kaos: en ny videnskabs tilbliven, Munksgaard, K?benhavn, 1989, 314 sider Boken gir et fascinerende bilde av hvordan kaosteorien vokste frem. Den gir et riktigere inntrykk av hvordan forskning faktiske foreg?r enn mange andre og mer akademiske b?ker.
Ian Stewart: Does God play dice? The mathematics of chaos, Penguin, London, 1990, 317 sider. En annen god popul?rvitenskapelig bok om kaos. Mer konsentrert om det faglige enn boken til Gleick, men allikevel forst?elig for alle. Stewart har for?vrig skrevet mange popul?rvitenskapelige b?ker om matematikk og de er alle verd ? lese (men de krever nok relativt gode engelskkunnskaper siden Stewart er en sprudlende forfatter full av vitser og ordspill).
Edward N. Lorenz: The essence of chaos, UCL Press, London, 1993. Enda en god bok om kaos av en av teoriens grunnleggere. Ikke s? sprudlende som Stewarts bok, men kanskje lettere ? forst?.
Kapittel 5: Kontinuerlige funksjoner
Med kapittel 5 og 6 er vi inne i den mest teoretiske delen av kurset. I disse kapitlene finner du tre setninger (skj?ringssetningen, ekstremalverdisetningen, middelverdisetningen) som er hovedredskaper for teorien i resten av kurset. Du f?r ogs? et m?te med s?kalte “epsilon-delta”-bevis (en fortsettelsen av tankegangen bak definisjon 4.3.1). Hvis du ikke er glad i matematisk teori, f?r du tr?ste deg med at denne teoribiten ikke er s? lang (og heller ikke s? veldig vanskelig hvis du gj?r et seri?st fors?k p? ? forst?). Tankene fra kapittel 5 kommer du til ? m?te igjen i mange videreg?ende matematikurs, og jo mer du forst?r av den n?, dess lettere blir livet senere.
Seksjon 5.1: Her tar vi opp igjen begrepet “kontinuerlig funksjon” fra skolematematikken, problematiserer det en smule og presiserer det. Du gj?r deg selv en tjeneste ved virkelig ? fors?ke ? forst? definisjon 5.1.1 (det vil gj?re mye annet lettere).
Seksjon 5.2: Her m?ter du skj?ringssetningen — et viktig resultat som ser ut som en selvf?lgelighet. Pr?v ? forst? hvorfor det ikke er en selvf?lgelighet!
Seksjon 5.3: Her m?ter du ekstremalverdisetningen. Det jeg sa om skj?ringssetningen kan gjentas her.
Seksjon 5.4: Grenseverdier har du truffet f?r. Selv om spr?kdrakten kanskje er litt annerledes, er det ikke mye nytt her siden videreg?ende skole. I seksjon 6.3 skal du l?re en en mer effektiv teknikk for ? regne ut vanskelige grenseverdier.
Litteraturtips til kapittel 5: Teorien i dette og de f?lgende kapitlene finner du i mer “destillert form” (dvs. med st?rre vekt p? den teoretiske sammenhengen og mindre p? anvendelser og eksempler) i
Tom Lindstr?m: Kompletthet og kontinuitet. Om grunnlaget for differensial- og integralregningen. Gyldendal, Oslo, 1992, 46 sider.
Dersom du synes det blir mye teori og begynner ? lure p? om det er noe vits med matematikk, kan du ta en titt p? heftene
Barry Cipra: What’s happening in the mathematcal sciences? Bind 1-5, American Mathematical Society, 1993-2002. I disse sm? heftene f?r du lesbare (for alle!) referater fra ny matematisk forskning med vekt p? anvendelser i andre fag.
Kapittel 6: Deriverbare funksjoner
Dette kapittelet inneholder en del repetisjon, men ogs? en del nytt — b?de viktig teori og noen nyttige regneteknikker. Middelverdisetningen i seksjon 6.2 er kanskje det viktigste resultatet i hele kurset, og tar du flere matematikkurs, vil du m?te denne setningen igjen i utallige sammenhenger. L’H?pitals regel i seksjon 6.3 er en usedvanlig nyttig teknikk (for ? regne ut grenseverdier) som du ogs? vil m?te igjen i mange sammenhenger.
I alle fag ved fakultetet er det viktig at du vet hva den deriverte er og kan tolke den i forskjellige praktiske situasjoner. Har du ikke fra f?r av en god forst?else av hva derivasjon betyr i ulike sammenhenger, er det viktig at du skaffer deg det n?. Senere i kurset vil du m?te en utvidet form for derivasjon — partiell derivasjon. Partielle deriverte er ikke vanskeligere ? regne ut enn vanlige deriverte, men de er ofte vanskeligere ? tolke. God forst?else av partielle deriverte er viktig innenfor de fleste fagomr?der ved fakultetet.
Seksjon 6.1: Derivasjon er en av de tingene vi forutsetter at du virkelig kan. Denne seksjonen er nesten ren repetisjon, og jeg vil ikke bruke s?rlig tid p? den. Dersom det er lenge siden du har drevet med derivasjon (eller du av andre grunner er redd for at derivasjonsreglene ikke sitter som de skal), s? er det viktig at du med en gang regner nok oppgaver til at du f?r teknikkene inn i fingrene igjen. Det lille avsnittet om logaritmisk derivasjon i slutten av seksjonen er nok nytt for de fleste (et nyttig triks, men ikke veldig viktig).
Seksjon 6.2: Middelverdisetningen ser uskyldig ut, men den er et uhyre viktig v?pen som kan brukes p? mange m?ter. L?rer du deg noen av disse m?tene, har du virkelig f?tt utbytte av kurset.
Seksjon 6.3: L’H?pitals regel er et forbl?ffende slagkraftig v?pen for ? regne ut ubestemte grenseuttrykk av typen “0/0”, “uendelig/uendelig” osv. Slike grenseuttrykk kommer du til ? m?te n? og da i forskjellige situasjoner b?de i matematikk og andre fag, og det er greit ? kjenne en generell metode. (Dessuten er det tradisjonelt eksamensstoff!)
Seksjon 6.4: Kurvedr?fting er ogs? en ting du b?r kunne fra skolen, og jeg kommer ikke til ? bruke mye tid p? denne seksjonen.
Seksjon 6.5: Denne seksjonen er pensum, men dere vil f? i oppdrag ? lese den p? egen h?nd!
Litteraturtips til kapittel 6:
Jens Lund: Tangentbestemmelse historisk set, Matematikkl?rerforeningen, 1992, 54 sider. Hovedvekten ligger p? tangentbestemmelser p? 1600-tallet, Descartes, Fermat, Newton og Leibniz. Inneholder en del matematikk, men er greit ? lese.
Med verkt?yet fra kapittel 5 og 6 kan du n? lese mer tekniske b?ker om kaos enn de jeg nevnte under kapittel 4:
Robert L. Devaney: Chaos, fractals and dynamics: computer experiments in mathematics, Addison-Wesley, Menlo Park, 1990, 181 sider: Skrevet for amerikansk High School-niv?, hovedvekt p? dataeksperimenter.
Richard A. Holmgren: A first course in discrete dynamical systems, 2nd edition, Springer 1996, 223 sider. Litt mer avansert enn den foreg?ende, men mer element?r enn den neste. Kanskje litt kjedeligere enn Devaneys b?ker.
Robert L. Devaney: A first course in chaotic dynamical systems: theory and experiment, Addison-Wesley, Reading, 1992, 302 sider. Handler om det samme temaet som de foreg?ende b?kene, men er litt mer avansert (og spennende?) og g?r et godt stykke lenger. De siste delene m? du kanskje vente noen ?r med ? lese.
Tom Lindstr?m: Orden og kaos, Gyldendal, Oslo, 1993, 47 sider. Ikke s? spennende som de tre foreg?ende, men viser sammenhengen mellom kalkulus og kaos.
Kapittel 7: Anvendelser og utvidelser
Dette kapittelet best?r av litt av hvert, og den r?de tr?den er ikke veldig tilstedev?rende. Allikevel er det mye nyttig stoff her, b?de for videreg?ende matematikkurs og for andre fag.
Seksjon 7.1: I prinsippet er det ikke noe nytt her — uoppstilte maksimums- og minimumsproblemer kjenner du fra skolen. Det er imidlertid viktig ? trene p? ? oversette problemer fra virkeligheten til matematisk form, og en del av de oppgavene du m?ter her, er nok t?ffere enn dem du fikk i videreg?ende skole. Jeg kommer ikke til ? bruke s? mye tid p? dette stoffet i forelesningene, men det blir en del oppgaver til gruppene. Viktig trening for alle fag der du m? bruke matematikk i praksis.
Seksjon 7.2: Dette er et annet tema der oversettelsen fra virkelighet til matematikk st?r sentralt. Stort sett gjelder de samme kommentarene her som i seksjon 7.1, men siden stoffet er nytt, vil jeg bruke litt mer tid p? forelesningene.
Seksjon 7.3: Denne seksjonen h?rer til MAT-INF 1100.
Seksjon 7.4: Omvendte funksjoner er et viktig tema som ikke lenger behandles i den videreg?ende skolen. Vi m? derfor legge litt ekstra arbeid i denne seksjonen. Omvendte funksjoner er viktige i alle fag der funksjoner brukes.
Seksjon 7.5: Bokens korteste seksjon dekker et lite hull i skolematematikken. Selvstudium.
Seksjon 7.6: Det finnes faktisk flere viktige funksjoner enn dem du l?rte om i skolen. Arcusfunksjonene dukker opp mange steder, s? dette er viktig stoff.
Seksjon 7.7: Ikke pensum. Har du overskudd, kan det likevel v?re greit ? kikke raskt i gjennom dette avsnittet som handler om enda en ny funksjonsklasse (hyperbolske funksjoner).
Litteraturtips til kapittel 7:
Robert Osserman: Universets poesi: en matematisk oppdagelsesferd i kosmos, Pax 2001, 188 sider. En praktfull liten bok som viser at matematikk ikke bare er nyttig til praktiske beregninger, men ogs? til ? skape et p?litelige verdensbilde. Tar for seg samspillet mellom geometri og kosmologi fra oldtiden til "Big Bang"-teorien. Kan (og b?r!) leses av alle. Synes du det er greit ? lese engelsk, anbefaler jeg deg ? lese den engelske originalen: "Poetry of the Universe".
Tom K?rner: The pleasures of counting, Cambridge University Press, Cambridge, 1996, 534 sider. En bok som viser hvordan matematikk kan brukes i mange sammenhenger av stor samfunnsmessig betydning. Inspirerende, men krever jobbing og god sans for matematikk.
Kapittel 8: Integrasjon
Dette kapittelet handler om integrasjon, b?de teori og anvendelser. Integrasjon er et viktig hjelpemiddel i nesten alle fag ved fakultetet, og det er viktig for alle b?de ? forst? integralbegrepet og kunne anvende det i praksis. Kanskje synes du at behandlingen i dette kapittelet er overdrevet teoretisk sammenlignet med det du l?rte i skolen, men hensikten er ? legge et idémessig grunnlag for videre arbeid med integrasjon, f.eks. i MAT 1110. I disse kursene vil du l?re om multippel integrasjon av funksjoner av flere variable. Dette temaet er viktig i mange fag — skal jeg trekke frem noe spesielt, vil jeg nevne at det er helt n?dvendig for ? kunne behandle innbyrdes avhengige st?rrelser i statistikk
Seksjon 8.1: Dette er oppvarming i den forstand at alt som st?r her, vil du m?te igjen i mer generell form senere i kapittelet. Jeg vet ikke om jeg vil bruke akkurat denne formen for oppvarming p? forelesningene, men en eller annen form for motiverende innledning m? vi ha.
Seksjon 8.2: Hvis du ikke synes dette er vanskelig stoff, er du ganske glup! Men umulig er det ikke, og jobber du litt med det, vil du kanskje oppleve at mange brikker faller p? plass. Uansett b?r du f? med deg ideen om tiln?rming fra utsiden og innsiden — det er denne ideen (i forskjellige varianter) som ligger til grunn for alle avanserte teorier om integrasjon.
Seksjon 8.3: Kursets h?ydepunkt! Newtons og Leibniz’ oppdagelse av at integrasjon og derivasjon er motsatte regningsarter er et av de store gjennombruddene i vitenskapens historie. Oppdagelsen revolusjonerte ikke bare matematikken, men ogs? fysikken og astronomien. Pr?v i det minste ? forst? hvorfor resultatet ikke er en selvf?lgelighet (det kan v?re vanskelig nok for en som er vant til ? tenke p? integrasjon som antiderivasjon!).
Seksjon 8.4: Det meste her vet du fra f?r, men det er viktig ? f? satt det inn i den logiske sammenhengen.
Seksjon 8.5: I dette avsnittet ser vi p? en annen (men ekvivalent) m?te ? definere integralet p?. Det er viktig ? f? med seg ideen om integralet som grensen av Riemann-summer — den er utgangspunktet for de fleste praktiske anvendelser av integralet. Den *-merkede delen av denne seksjonen er ikke pensum.
Seksjon 8.6: I denne seksjonen skal vi se p? noe av det integrasjon kan brukes til. Litt er kjent fra f?r (omdreiningslegeme rundt x-aksen), men det meste er nok nytt. N?r man tenker p? de utallige anvendelsene av integrasjon, er denne seksjonen egentlig litt stakkarslig!
Litteraturtips til kapittel 8:
Richard S. Westfall: The life of Isaac Newton, Cambridge University Press, Cambridge, 1994, 328 sider. En god biografi av en av tidenes st?rste vitenskapsmenn.
C. H. Edwards: The historical development of the calculus, Springer, New York, 1979, 351 sider. Gir et godt bilde av teoriens fremvekst. T?ff ? lese i sin helhet, men kan v?re morsom ? bla i.
Kapittel 9: Integrasjonsteknikk
I dette kapittelet skal vi l?re mer om integrasjon, men n? skal vi stort sett konsentrere oss om kunsten ? regne ut integraler (og ikke ? definere dem eller ? stille dem opp i praktiske sammenhenger). Du har nok m?tt de grunnleggende teknikkene f?r, men det er likevel mye ? l?re. Du kommer til ? f? bruk for disse teknikkene i alle fag der integralregning brukes (og det er de aller fleste ved v?rt fakultet).
Mange hevder at det er un?dvendig ? drille integrasjonsteknikk i v?re dager hvor datamaskiner og symbolbehandlende lommeregnere kan regne ut det meste mye fortere enn oss. Jeg tror imidlertid det er gode argumenter for ? beholde en del integrasjonstrening — blant annet gj?r det oss skikkelig kjent med hva som er styrken og svakheten til de ulike teknikkene, og det gir oss nyttig trening i ? manipulere funksjoner. Integrasjonsteknikk gir oss ogs? et bilde av hvordan matematikk egentlig er — ikke en bok full av ferdige oppskrifter til ? l?se rutineoppgaver, men en samling ideer og teknikker som m? med brukes med intuisjon og teft.
Seksjon 9.1: Her f?r du se delvis integrasjon brukt i ulike sammenhenger.
Seksjon 9.2: Substitusjon (skifte av variabel) er en teknikk som ofte krever litt sluhet. Det er lettere ? v?re lur hvis man har studert en del typiske eksempler og l?rt seg noen tommelfingerregler.
Seksjon 9.3: Ved ? bruke delvis integrasjon og/eller substitusjon kan du ofte gj?re om et integral til et som kan l?ses ved delbr?koppspalting. Derfor er det nyttig ? kunne denne metoden godt. Inntil i ?r var enkel delbr?koppspalting pensum i videreg?ende skole, men n? er det borte. Vi skal derfor bruke litt mer tid p? dette temaet i ?r..
Seksjon 9.4: Denne seksjonen er ikke pensum, men den kan likevel v?re verd ? kikke p?. Dette er nemlig ikke en vanlig seksjon som introduserer nytt l?restoff, men mer en samling triks og eksempler som skal hjelpe deg til ? bli bedre til ? integrere. Har du tid og overskudd, kan det derfor v?re lurt ? lese seksjonen selv om den ikke er pensum.
Seksjon 9.5: I denne seksjonen definerer vi integraler over (blant annet) uendelige intervaller. Slike integraler dukker ofte opp i andre fag (i fysikk og statistikk finnes de overalt). Vi kommer bare til ? ta med de viktigste delene av denne seksjonen og stort sett holde oss unna sammenligningskriteriene.
Seksjon 9.6: Ikke pensum
Litteraturtips til kapittel 9:
Arild Stubhaug: Et foranskutt lyn: Niels Henrik Abel og hans tid, Aschehoug, 1996, 578 sider. En av de beste matematikerbiografiene som finnes. Gir et levende bilde ikke bare av Abel som menneske og matematiker, men ogs? av det norske samfunn i en viktig periode.
Jon Reed & Johan Aarnes: Matematikk i v?r tid, Universitetsforlaget, Oslo, 1967, 348 sider. Kjernen i denne boken inneholder en moderne versjon av Abels og Galois’ teori for l?sbarhet av ligninger. Vanskelig stoff, men det er lov ? pr?ve seg (ingen spesielle forkunnskaper er n?dvendig). De andre kapitlene i boken (om sannsynlighetsregning, mengdel?re, spillteori og databehandling) er enklere og absolutt verd ? lese.
Pensum fra “Flervariabel analyse med line?r algebra”
Kapittel 1: Vektorer og matriser
Dette kapitlet handler om vektorer og matriser — to viktige hjelpemidler i de neste kursene du tar. Kapitlet er ikke s? veldig vanskelig, men det er viktig ? f? med seg dette stoffet med tanke p? alle bruken du skal gj?re av det senere.
Seksjon 1: Her utvider vi vektorregningen i 3MX til n-dimensjonale vektorer. Ikke s? skummelt som det kan h?res ut til.
Seksjon 2: Her studerer vi n-dimensjonale vektorer geometrisk! Litt vanskeligere enn f?rste seksjon, men heller ikke dette er all verden.
Seksjon 3: Utvider teorien fra de to f?rste seksjonene til komplekse vektorer. P? dette niv?et er det mest orienteringsstoff.
Seksjon 4: Her skal vi studere vektorproduktet mellom tre-dimensjonale vektorer. Spesielt viktig stoff for dem som sskal studere fysikk eller mekanikk.
Seksjon 5: I denne seksjonen innf?rer vi matriser og pr?ver ? forklare hvordan matriser kan brukes til ? transformere vektorer. Dette er utgangspunktet for det fagomr?det som heter “line?r algebra” og som du vil st?te p? igjen i MAT 1110 og MAT 1120. Viktige saker uansett hva du har tenkt ? studere!
Seksjon 6: Her g?r vi videre og ser p? hvordan man kan multiplisere matriser. Matrisemultiplikasjon er ikke-kommutativ, dvs. at AB og BA vanligvis ikke er like! Dette tar det litt tid ? bli vant til, Viktig stoff!
Seksjon 7: I dette avsnittet ser vi litt p? inverse matriser, et tema vi skal komme n?rmere tilbake til i neste kurs.
Seksjon 8: Denne seksjonen handler om determinanter og hvordan de kan brukes til ? regne ut arealer og volumer. Ogs? dette er et tema vi skal komme n?rmere tilbake til i neste semester, men det er viktig alleede n? ? skj?nne sammenhengen mellom determinanter og geometri.
Litteraturtips til kapittel 1
Dette er typisk l?rebokstoff, og det finnnes nok ikke s? mange “morsomme” b?ker om disse temaene, men enhver bok som handler om line?r algebra vil gi deg mer ? tenke p?. Er du interessert i forbindelser til geometri, kan du pr?ve deg p?.
Peter Hilton, Derek Holton, Jean Pedersen; Mathematical reflections: in a room with many mirrors, Springer, 1997.
Kapittel 2: Funksjoner fra Rn til Rm
I dette kapitlet skal vi studere funksjoner av flere variable, dvs. funksjoner som f(x,y,z,u) der vi har mer enn en input-variabel. Slike funksjoner dukker opp i alle fag, og det er viktig ? kunne behandle dem. Heldigvis er de ikke veldig forskjellige fra funksjoner av én variabel, men dette kapitlet er nok likevel litt vanskeligere enn det foreg?ende.
Seksjon 1: Det er bare en kort innledning for ? bli vant til begrepene.
Seksjon 2: Her studerer vi kontinuerlige funksjoner. Teorien er ganske lik den vi har for funksjoner av én variabel, og vi skal ikke legge s? mye vekt p? den.
Seksjon 3: Her studerer vi grenseverdier av funksjoner av flere variable. Vi skal ikke dra dette s? veldig langt, det er mest snakk om ? presisere spr?kbruken.
Seksjon 4: Her skal vi l?re ? derivere funksjoner av flere variable med verdier i R (skalarfelt). Teorien er litt t?ff, men oppgavene er overkommelige. Sv?rt sentralt stoff for de fleste fag!
Seksjon 5: Handler om annenderiverte av funksjoner av flere variable. Burde v?re greit stoff.
Seksjon 6: Utvider teorien fra seksjon 4 til funksjoner med verdier i Rm. Uttrykkene blir litt uoversiktlige og teorien er kanskje litt vanskelig, men oppgavene burde v?re greie. Viktig forberedelse til kjerneregelen i seksjon 2.7 (men den kommer f?rst i neste semester!).
Litteraturtips til kapittel 2:
Igjen typisk l?rebokstoff. Vil du se en alternativ fremstilling anbefaler jeg:
Tom M. Apostel: Calculus I-II, Xerox College Publishing, 1969