Beskjeder
31 studenter m?tte til muntlig eksamen. Her er resultatet:
A: 4, B: 11, C: 12, D: 3, F: 1.
God sommer,
KR
Matematisk fagutvalg lager emneevaluering av MAT 2100
ved hjelp av et skjema:
Jeg oppfordrer alle til ? delta og svare p? skjemaet.
P? forh?nd takk,
KR
Eksamenstidspunkt for hver enkelt som skal ta eksamen, er n? tilgjengelig p? studentweb.
Husk ? m?te en time f?r det gitte tidspunktet for ? f? forberedelsesoppgave.
Om dere kommer mindre enn en time f?r, vil dere m?tte vente p? ? f? oppgaven til ca 30 minutter f?r.
Kristian R
Vi rakk ikke ? diskutere ordentlig hvordan man kan overf?re Weierstrass' approksimasjonsteorem fra intervallet [0,1] til et generelt intervall [a,b], s? jeg har lagt ut et (kanskje litt for kortfattet) notat.
Tom
Siden presentasjonen p? onsdag var litt kortfattet og rotete, har jeg skrevet ut argumentet for at den ingensteds deriverbare funksjonen i seksjon 5.4 virkelig er ingensteds deriverbar. Klikk her.
Tom
Disse to siste ukene (mandag, onsdag, fredag denne uka og onsdag fredag neste uke) vil vi repetere definisjoner, teoremer og gruppeoppgaver. Ca to kapitler for hver gang. Ta gjerne med sp?rsm?l eller tema-?nsker til forelesningene. Jeg foreleser mandag og onsdag denne uka, Tom foreleser resten.
KR
?Det ble en ren forelesning i dag. Jeg postulerte Riemann-Lebegues lemma (men illustrerte ideen p? en figur), og viste ut ifra dette at Fourier-rekken konvergerer tll funksjonen i ethvert punkt der funksjonen er deriverbar. Snakket litt l?st om andre former for konvergens.
Tom
Onsdag regnet vi p? Fourier-koeffisienter, gj?r gjerne denne ferdig selv, inkludert Fourierkoeffisientene til tallverdifunksjonen p? det lukkede intervallet fra -pi til pi.
Fredag vil s? Tom diskutere/gjennomg? de f?rste resultatene om konvergens for Fourier-rekke utviklingen til en funksjon.
KR
Fredag ble vi ferdige med kapittel 7, og mandag 7. begynte vi p? Fourier rekker, kapittel 8.5. VI regnet p? oppgavene 8.5.1 og 8.5.2, som vi onsdag bruker i 8.5.3 til ? regne ut Fourierkoeffisientene til en funksjon. Dere forbereder dere best ved ? lese kapittelet fram til oppgave 8.5.3.
Etter 8.5.3 vil vi s? regne p? Fourierkoeffisientene til absoluttverdifunksjonen.
KR
Onsdag gjennomgikk vi oppgaven 7.6.10 og 7.6.11. S? fredag gjenst?r bare 7.6.12: ? vise at om en begrenset funksjon p? et lukket intervall er integrerbar, s? har mengden av diskontinuiteter m?l null. Beste forberedelse er kanskje ? se over de siste oppgavene (s?rlig 7.6.11).
KR
Mandag repeterte jeg alfa-kontinuitet og viste en karakterisering av kompakte mengder (alle ?pne overdekninger har en endelig deloverdekning), f?r vi gjorde oppgave 7.6.9 . Jeg snakket ogs? om 7.6.10, men denne gj?r vi ferdig onsdag, ved ? bruke karakteriseringen over av kompakte mengder . Deretter gj?r vi 7.6.11 som avslutter ene veien av beviset for Lebesgue's teorem.
KR
Oppgavene om alfa-kontinuitet 7.6.6 - 7.6.8 har vi gjort tidligere ( i 4.6), s? mandag begynner jeg med en kort repetisjon av disse og ulike karakteriseringer av kompakthet (les gjerne andre del av seksjon 3.3 og oppgave 3.3.9). Vi skal s? bruke disse til ? vise Lebesgue's teorem som sier at en begrenset funksjon f er integrerbar p? et lukket intervall dersom mengden av diskontinuiteter har m?l null (oppgavene 7.6.9-7.6.12).
Repeter gjerne selv oppgavene fra kapittel 4 som forberedelse til forelesning.
KR
Onsdag fullf?rte vi 7.6.1(c) og 7.6.2. (b), pass p? ? gj?re (a) selv. Deretter introduserte jeg "m?l null" og viste at endelig mengder har m?l null. Til fredag: pr?v ? vise at en tellbar mengde har m?l null, og at cantor mengden (ved ? bruke samme argument som i 7.6.2 (b) har m?l null. Fredag jobber dere med 7.6.3-5 og repeterer oppgaver om alfa-kontinuitet fra kapittel 4.
KR
Mandag introduserte vi Rieman integrerbarhet for begrensede funksjoner p? et intervall, og begynte ? regne p? 7.6.1a,b. Til onsdag forbereder dere dere best med ? regne p? 7.6.1c og ? friske opp kunnskapen om Cantor funksjonen. Vi gj?r oppgave 7.6.2 og begynner ? se p? mengder av "m?l null."
KR
Fredag 20. gjorde vi oss ferdig med oppgavene 6.7.8 og 6.7.9. 6.7.10-11 er tatt ut, sammen med 6.7.5a i denne ukas gruppeoppgave.
Mandag begynner vi p? kapittel 7, integrasjon. Forbered dere med ? lese innledningen 7.1 og definisjon p? integrerbarhet, 7.2, s? vil vi i l?pet av mandag ogs? se p? integrerbarhet til Thomae's funksjon. (7.6.1)
KR
PS De som ikke har hatt muntlig presentasjon bes ta kontakt for avtale. DS
Tom L ga onsdag noen hint om 6.7.8 d). Vi begynner fredag med ? avslutte beviset for WAT f?r vi ser p? hvorfor WAT ikke gjelder for alle kontinuerlige funksjoner definert p? ?pne intervaller 6.7.9.
Vi tar ikke med oppgavene 6.7.10 og 6.7.11 i oppgavesettet.
KR
Mandag arbeidet vi oss gjennom 6.7.6 og 6.7.7 (selv om 6.7.7b ble litt kort p? slutten)og kan derfor gj?re oss klar for ? vise WAT etter oppskriften i 6.7.8. Forbered dere gjerne med ? repetere 6.7.7.b: denne f?r dere bruk for i slutten av 6.7.8.
KR
I dag gjennomf?rte gruppe 9 sin presentasjon av forrige ukes prosjekt.
Ellers startet jeg med et kort resymé av Taylorpolynomer f?r vi begynte p? oppgavene. Vi gikk deretter direkte l?s p? oppgave 6.7.4 som jeg tror vi kom oss greit igjennom. Deretter snakket jeg litt om Cauchys restleddsformel (uten ? bevise den) f?r vi gikk l?s p? oppgave 6.7.5b) (jeg sa eksplisitt at dere ikke beh?ver ? gj?re a)-delen). Vi satte inn i Cauchys formel og manipulerte uttrykket til en form der det ble klart at poenget er ? vise at [(x - c_N)/(1-c_N)]^N g?r mot null. Resten b?r dere klare p? egen h?nd, s? v?r klar til ? starte p? oppgave 6.7.6 neste gang.
Tom
_____
Onsdag gjorde vi oppgavene 6.7.2 og 6.7.3 og introduserte Taylor rekka til en deriverbar funksjon om x=0. TIl fredag, les mer om Taylorkoeffisientene (teorem 6.6.2) og begynn p? oppgave 6.7.4.
Det blir ogs? muntlig presentasjon av gruppe 9 fredag.
KR
Mandag begynte vi p? f?lger og rekker av funksjoner (kap. 6), definerte uniform konvergens og viste at grensefunksjonen til en f?lge av kontinuerlige funksjoner som konvergerer uniformt er kontinuerlig. Vi gjorde s? oppgave 6.7.1. og forberedte oppgave 6.7.2. Til onsdag, pr?v ? bruke uniform kontinuitet (definisjon 4.4.4 og setning 4.4.7) til ? finne delingspunktene til en polygonfunksjon som ligger n?r en gitt kontinuerlig funksjon p? et lukket intervall.
KR
I dag arbeidet vi med 5.4.7b) og 5.4.8. Siden disse oppgavene er ganske utfordrende, ble det mye enveiskommunikasjon. I det f?rste eksemplet i 5.4.8 gikk jeg litt i surr, slik at halvparten av figurene mine ble gale. N?r dere har forst?tt konstruksjon, ser dere hvem av dem som gjelder!
Tom
P? forelesningen onsdag arbeidet vi med oppgavene 5.4.6. og 5.4.7a.
G? n?ye gjennom notatene s? vil p? fredag ha utbytte av ? arbeide med 5.4.7b som viser at funksjonen g ikke deriverbar i noe punkt, og med 5.4.8 som dr?fter argumentet i oppgave 5.4.6 for funksjoner som likner p? g.
K.R.
I uka etter p?ske fullf?rer vi oppgavene i kapittel 5.4. I forberedelsene, gjennomf?r generaliseringen av 5.4.6a) til 5.4.6b), og pr?v og vise den generelle hjelpesetningen i 5.6.7 om grensen til en spesiell f?lge i punkt der en funksjon er deriverbar.
KR
I dag onsdag brukte vi all tid p? oppgave 5.4.4. Forbered dere best til fredag med ? skrive ut argumentene i 5.4.4 og begynne p? oppgave 5.4.5, s? vil fredagen g? med til denne oppgaven og oppgave 5.4.6.
KR
Mandag definerte jeg deriverbarhet til en funksjon og viste en om funksjonen er deriverbar i et punkt er den ogs? kontinuerlig der. Deretter gikk vi l?s p? de tre f?rste oppgavene som definerer en kontinuerlig funksjon som ikke er deriverbar i noe punkt. TIl onsdag forbereder dere dere best ved ? skrive ut l?sningen p? den andre og den tredje oppgaven i detalj. Vi fortsetter onsdag med de neste to oppgavene.
Neste uke, uka f?r p?skeuka, er det midtterminuke med midtveiseksamen i mange emner, da er det ikke undervisning i MAT 2100.
KR