Beskjeder - Side 2
P? fredag ble jeg informert om at endel endel av studentene p? lektorprogrammet skal p? en samling fredag/l?rdag 8.-9. mars og kan derfor miste undervisningen fredag 8. (fire timer).
Undervisningen den fredagen g?r som planlagt men som et
supplement/erstatning for dem som ikke kan komme (og fors?vidt for alle andre og) blir det ekstraundervisning torsdag 7. mars kl 14. 15 p? rom 720 7.etg. NHA. Rommet er reservert frem til kl. 18.00 s? om behov kan vi holde p? til da.
H.B.
Vi begynte med en presentasjon av Oppgave 1.6.5 og 1.6.6
Jeg begynte s? ? forelese fra kapitel 4. Jeg gav definisjonen av grenser og kontinuitet og forklarte teorem 4.2.3. Jeg definerte de tre forskjellige funksjonene g(x), h(x) og t(x) p? side 112-114 og forklarte hvor disse funksjonene var kontinuerlig og diskontinuerlig. Tilslutt diskuterte vi oppgave 4.6.1
H.B.
Vi fortsatte p? oppgavene under prosjekt 3 fra kapittel 3 og diskuterte det som stod igjen fra disse oppgavene.
Vi fortsatte ? se p? 3.4 og diskuterte 3.5. Tilslutt diskuterte vi ogs? 3.5.6. Vi fortsetter med dette p? forelesningen fredag, og jeg regner med ? bli ferdig med ? diskutere alle oppgavene i dette prosjektet i l?pet av felles?velsen.
Jeg har lagt ut et l?sningsforslag for oppgavene 2.8.5 og 2.8.6 samt en innsendt prosjektoppgave dere kan ogs? se p? n?r det gjelder de andre oppgavene. Dette ligger i Canvas under modulen diskusjoner.
P? forelesningen begynte vi med en presentasjon av oppgave 1.6.10. Vi begynte deretter p? oppgavene fra 3.5 (prosjekt 3).
Vi begynte med 3.2 (som vi ogs? hadde studert p? mandag). Fortsatte med 3.5.3. S? formulerte vi Teorem 1.4.1 som vi trenger i Ex.3.5.4. P? mandag begynner vi med to presentasjoner: 1.6.1 og 1.6.2 f?r vi fortsetter med 3.5.4 og andre oppgaver fra 3.5.
Jeg begynte ? forelese om ?pne og lukkede mengder fra kapitel 3.
Jeg avsluttet med ? definere F_\sigma og G_\delta mengder og ? formulere oppgave 3.5.1 (den f?rste oppgaven p? prosjekt 3).
P? forelesning fredag 15. vil vi f?rst f? en presentsasjon av oppgave 1.6.10 (ca. 20 minutter). Deretter vil vi begynne p? oppgavene fra prosjekt 3. Dette fortsetter vi med i plenumsregnetimen senere p? fredag.
H.B.
I dag ble vi ferdig med ? diskutere oppgavene til seksjon 2.8.
- H?kon
Vi diskuterte oppgave 2.8.4 og 28.5 a)
Jeg har lagt ut en besvarelse av Cantor oppgaven samt et l?sningsforslag for 1.6.9 og 1.6.10c)
Dere finner dette om dere g?r inn i Canvas og ser p? modulen "diskusjoner" under Cantors teorem. Dere m? gjerne skrive noe selv ogs? i denne modulen.
H.B.
Jeg forklarte en annen m?te ? l?se 2.8.2 p? (som et alternativ til H?kons l?sning p? fredag). Jeg forklarte innholdet i Teorem 2.8.1.
Forutsetningene i dette teoremet er alts? utgangspunktet for resten av oppgavene i dette prosjektet. Vi diskuterte s? og l?ste oppgave 2.8.3.
Det har v?rt endel sp?rsm?l om l?sningsforslag p? prosjektoppgavene. Det jeg kommer til ? gj?re er ? sp?rre om ? f? lov til ? legge ut l?sninger fra dere som jeg synes er bra og i tillegg selv lage noen l?sningsforslag p? enkelte av oppgavene der det er forskjellige metoder. Disse forslagene blir ikke lagt ut p? Vortex hjemmesiden men blir tilgjengelig gjennom Canvas.
L?sningsforslag for 1. prosjektoppgave kommer i l?pet av uka og dere vil f? beskjed om hvor den vil ligge i Canvas.
Jeg fortsatte ? gjennomg? teori fra kapittel 2 som er n?dvendig for ? l?se prosjektoppgaven fra 2.8. Jeg fortsetter med oppgavene fra prosjektet som H?kon ikke fikk sett p? under felles?velse 1/2 p? mandag 4/2.
I dag begynte vi p? §2.8 om dobbeltsummer. Vi s? tilbake p? eksempelet fra §2.1, snakket om bokssummer og gjorde oppgave 2.8.1. Minnet deretter om Cauchy-f?lger og konvergens av dobbeltsummer f?r vi avsluttet med ? diskutere oppgave 2.8.2.
Jeg foreleste fra kapittel 2. Jeg plukker ut det jeg synes dere trenger for ? kunne begynne ? arbeide merd prosjektoppgave 2.
Jeg vil fortsette ? forelese fra kapittel 2 i f?rste time p? fredag og s? begynne ? se p? deloppgavene i prosjekt 2.
I dag diskuterte vi videre p? oppgave 1.6.9 samt 1.6.10, som er den siste oppgaven i kapittelet.
Jeg begynte med ? formulere Cantors Teorem (Theorem 1.6.2)
Gitt f: A-> P(A) definerte jeg s? den spesielle mengden B som vil ha den egenskapen at den aldri (uansett f) kan v?re i bildet til f.
Vi diskuterte og forklarte oppgavene 1.6.8 og 1.6.9. Vi begynte s? p? oppgave 1.6.9 og brukte resten av tiden p? ? diskutere denne oppgaven. Jeg regner med at H?kon ogs? vil se mer p? denne oppgaven p? fellesregne?velsen.
Minner om at deadline for innlevering av 1. prosjektoppgave er i l?pet av mandag 28.1. Oppgaven skal leveres i Canvas og i form av en pdf- fil. Skriv navn og ogs? de p? gruppa du eventuelt har jobbet sammen med. Hver student p? gruppa m? imidlertid levere individuelt. Lykke til h?per mange leverer!
H.B.
Som en innledning til oppgave 1.6.3 og 1.6.4 gjentok jeg Cantors diagonal-argument fra beviset av Teorem 1.6.1. Jeg diskuterte s? (sammen med auditoriet) oppgavene 1.6.3 og 1.6.4. Jeg forklarte hva potens-mengden, P(A), til en mengde A er. I fellesskap diskuterte vi s? oppgavene 1.6.5 og 1.6.6. Tilslutt formulerte jeg Cantors Teori (Teorem 1.6.2). P? fredag (b?de p? forelesning og felles?velse) vil vi diskuterte oppgavene som gjenst?r fra 1.6.
Siden innleveringsfristen for 1. prosjekt er i l?pet av 28. januar vil jeg anbefale at spesielt dere som har tenkt ? levere begynner med dette s? raskt som mulig og ikke venter til diskusjonen p? fredag. Jeg kan for?vrig v?re tilstede p? kontoret mitt p? f?rstkommende torsdag fra 14.00 til 16.00 (rom 1112 i NHA) og dere kan godt komme der og sp?rre om dere trenger hjelp.
H.B.
Jeg repeterte begrepene kardinalitet og tellbarhet, og nevnte Theorem 1.5.8. Vi s? deretter p? hva det vil si at reelle funksjoner er injektive/surjektive, og diskuterte oppgave 1.6.1. Dernest snakket jeg litt om (ikke-entydighet av) desimalrepresentasjoner, f?r vi gikk l?s p? Cantors diagonalargument. Avsluttet med ? diskutere oppgave 1.6.2.
- H?kon
Jeg forklarte hva det vil si at to mengder har samme kardinalitet og definerte hva det vil si at en mengde er tellbar. Jeg viste at N og Z hadde samme kardinalitet dvs. at Z er tellbar. Jeg sa at ogs? Q er tellbar men at R ikke er det. Jeg gikk s? over til ? snakke om komplettheten av de reelle tallene (seksjon 1.3). Jeg beviste s? Teorem 1.4.2 og skisserte beviset for Teorem 1.4.3. Tilslutt skisserte jeg beviset for at Q er tellbar, Beviset i 1.5 for at R ikke er tellbar gjorde jeg ikke. Dette vil bli vist i den sekvens av oppgaver fra 1.6 som utgj?r det f?rste oppgaveprosjektet. H?kon vil i dagens plenumsregning begynne ? diskutere dette prosjektet, og vi vil fortsette med det i hele neste uke. Deadline for levering for f?rste prosjekt er mandag 28. januar. Dere b?r...
Jeg begynte f?rste forelesning med ? dele de som kom inn i arbeidsgrupper. Kurset vil i hovedsak best? av 8 arbeidsprosjekter som er de oppgavene som st?r bakerst i hvert kapitel. (Se i Canvas for n?rmere detaljer). De to obligatoriske oppgavene som skal godkjennes er ? levere og f? godkjent to slike i Canvas innen de fristene som er oppgitt. Oppgavene/prosjektene skal leveres individuelt, men dere kan bruke gruppene til ? 欧洲杯在线买球_欧洲杯投注网站推荐@e. Under forelesningen vil jeg ogs? av og til gi dere sm? oppgaver som dere kan 欧洲杯在线买球_欧洲杯投注网站推荐@e om p? gruppene og som vi etterp? kan ta opp i plenum.
De av dere som ikke kom p? 1. forelesning, men som gjerne vil bli satt i en gruppe for slikt 欧洲杯在线买球_欧洲杯投注网站推荐@, kan sende meg en mail innen mandag 21. januar.
Jeg vil da fordele ogs? dere i grupper og sende mail om gruppe-sammensetningen.
Etter at jeg hadde fordelt de som kom i grupper, begynte jeg ? snakke litt om mengder og funksjoner mellom mengder. Dette var for...
I semesteret vil vi bruke det meste av tiden p? arbeide i grupper, med til sammen ?tte gruppeprosjekter.
I Canvas finner dere mer informasjon om gruppeprosjektene og om frister.
Forelesningene vil gjennomg? viktige definisjoner og setninger til prosjektene.
Hvert prosjekt best?r av en rekke deloppgaver i Abbotts bok (pensumboka) som leder fram til et teoretisk resultat.
Tidsplan:
Datoer Tema Kapitler/prosjekt
14.1-25.1 Kompletthet, tellbarhet. &...