25.8:

Den f?rste uken g?r vi raskt gjennom kapittel 2.  Det meste av dette stoffet b?r v?re kjent fra f?r.  Idag snakket jeg stort sett om stoffet i 2.1-2.5.

28.8:  

I dag gikk jeg gjennom 2.6-2.8.  2.9 tas mandag, f?r vi g?r videre med kapittel 3.

1.9:

Ganske mye av tiden i dag gikk med til oppgavegjennomg?else og resten av kapittel 2.  Kapittel 3 handler om mer klassisk geometri av trekanter og sirkler i Euklidsk tradisjon, og jeg snakket litt generelt om forholdet mellom dette og koordinatgeometrien i kapittel 2. Man kan vise at begge deler beskriver den samme geometrien, og vi skal ta dette for gitt. Det betyr at vi er fri til ? bruke den typen argumentasjon som er mest hensiktsmessig i enhver situasjon.  3.1-4 inneholder litt historikk, grunnleggende definisjoner og resultater om trekanter, og 3.5 videref?rer noe av dette til mer generelle polygoner, som kan studeres ved ? dele dem opp i trekanter.  Jeg forutsetter at dere har studert dette grundig innen torsdag.  Les ogs? gjennom 3.6 p? forh?nd.  

 4.9:

Jeg snakket bare om 3.6 i dag, med vekt p? kongruenskriteriene for trekanter.  Kongruens kriteriene er formulert som betingelser for at to trekanter er kongruente, men det er ogs? lurt ? tenke p? dem som eksempler p? hva som skal til for ? betsemme alle sider og vinkler i en trekant, eller ekvivalent: hva som skal til for at vi skal kunne konstruere en trekant.

8.9:

I dag snakket jeg om viktige og grunnleggende resultater om trekanter og sirkler, fra 3.7 og 3.8. Disse resultatene kan ogs? vises ved regning med vektorer eller koordinater som i kapittel 2, men det gir mye mer geometrisk forst?else ? behandle dem som her.

15.9:

Jeg diskuterte ganske grundig de tre begrepene Omsenteret (circumcentre), tyngdepunktet (centroid, barysenter) og ortosenteret for en trekant, og relasjonene mellom dem (Eulerlinjen).  Legg merke til at formelen G=(A+B+C)/3 for tyngdepunktet gjelder uansett valg av kartesiske koordinater, mens formelen H=A+B+C for ortosenteret bare gjelder dersom omsenteret ligger i origo.

18.9:

Jeg avsluttet 3.9 og gikk s? videre til ? diskutere nipunktsirkelen, i 3.11.  Deretter gikk jeg tilbake til 3.10 og snakket om sinus- og cosinussetningene.  Disse fomlene kan forst?s som presiseringer av de ulike kongruenssetningene, idet de kan brukes til ? bestemme alle sidene og vinklene i en trekant hvis vi kjenner (visse kombinasjoner av) tre av dem.  

22.9:

F?rst avsluttet jeg 3.10 med ? snakke om Herons formel for arealet av en trekant, uttrykt ved lengden av sidene. At en slik formel m? finnes, f?lger av SSS-kriteriet for kongruens.  Deretter diskuterte jeg problemet som leder til definisjonen (og konstruksjonen) av Fermatpunktet i en spissvinklet trekant, og viste s? hvordan dette gir det s?kalte Napoleons teorem. Jeg avsluttet med en liten diskusjon av Morleys teorem og m?ten dette vises p? i l?reboken.  Selve beviset  blir gjennomg?tt 25/9. 

25.9:

I den f?rste timen gikk jeg gjennom beviset for Morleys teorem.  Dermed har vi avsluttet kapittel 3.  I kapittel 4 brukes den ekstra strukturen vi f?r n?r vi betrakter planet som de komplekse tall til ? beskrive geometriske sammenhenger. I dag gikk vi raskt gjennom 4.1-4, som stort sett b?r v?re repetisjon av kjent stoff.  I 4.5 beskrives affine transformasjoner (similariteter) ved hjelp av komplekse tall.  Jeg ble ikke helt ferdig med dette, s? det vil bli avsluttet neste gang.   NB: Hvis du pr?ver ? lese dette selv: V?r oppmerksom p? at ligningen for aksen til en generell gliderefleksjon litt over midten p? side 109 er feil!  (En ligning av denne typen som gjelder for alle kombinasjoner av A og B finnes neppe.  Det er lettest ? uttrykke den ved hjelp av an U slik at U?=-A, men jeg synes ikke en slik formel er s? viktig ? kunne.)    

29.9:

Av og til er det gunstig ? gi mening til ? "dele p? 0" for ? gi mening til rasjonale komplekse funksjoner overalt. Derfor innf?rer vi de utvidede komplekse planet.  Dette kan anskueliggj?res som en 2-dimensjonal sf?re via s?kalt "sf?risk projeksjon".  Vi kommer trolig til ? f? liten bruk for dette, s? jeg gikk bare raskt gjennom konstruksjonen og nevnte de viktigste egenskapene uten bevis.  Vel s? viktig i klassisk geometri er "inversjon i sirkler". Jeg beskrev noen av egenskapene til denne konstruksjonen og viste at den tar sirkler p? linjer eller sirkler. 

NB: En av oppgavene jeg ga til neste gang var 4.36.  Det skal v?re 4.37, men merk en trykkfeil: "centre C and radius r" skal v?re "centre C and radius s".

2.10:

Jeg snakket en del mer om inversjoner og hvordan de avbilder sirkler/linjer p? sirkler/linjer.  Jeg viste ogs? at inversjon i en sirkel D bevarer vinkler og avbilder sirkler som skj?rer D ortogonalt p? seg selv. 

Setter vi sammen vilk?rlige affine transformasjoner (direkte og indirekte) og inversjoner f?r vi mer generelle transfomasjoner som kalles M?biustransformasjoner, og alle disse kan skrives som kvosienter mellom to direkte eller to indirekte affine trasnformasjoner. Disse vil ogs? bevare vinkler og avbilde sirkler/linjer p? sirkler/linjer.

6.10:

Kryssforholdet mellom fire punkter i planet er en av de viktigste konstruksjonene i 2-dimensjonal geometri.  I dag definerte jeg det og viste noen av egenskapene, som at kryssforholdet reelt hvis og bare hvis de fire punktene ligger p? en linje eller en sirkel, og at det er bevart under direkte M?biustransformasjoner.  Jeg regner med ? avslutte kapittel 4 neste gang (9.oktober).  4.11-4.13 er ikke pensum.

Mye av stoffet i kapittel 5 skal v?re kjent, og noe er ogs? repetisjon fra kapittel 2.  Hvis det blir tid neste gang, vil jeg snakke om det skalare trippelproduktet og noen av anvendelsene av dette.  Dere b?r ha kikket gjennom 5.1-3 p? forh?nd, s? dere vet at dere er fortrolige med det stoffet som forutsettes.

9.10:

Jeg avsluttet kapittel 4.10 med det viktige resultatet som har som konsekvens at kryssforholdet mellom fire punkter p? en linje bare er avhengig av synsvinklene fra et punkt utenfor linjen.  Deretter tok jeg en rask oppsummering av de viktigste egenskapene til kryssprodukt og det s?kalte skalare trippelproduktet av vektorer i rommet. (5.1-4)

13.10:

Det meste av tiden i dag gikk med til ? snakke om linjer og konfigurasjoner av to linjer i rommet. Det viktigste nye i forhold til kapittel 2 er anvendelsene av kryssprodukt av vektorer.  Mest sl?ende er at ligningen for en linje i rommet kan skrives p? formen PxA=B, der A og B er ortogonale vektorer.  Merk analogien med ligningen AP=d for et plan i rommet.

Neste gang skal vi se p? forskjellige transformasjoner av de Euklidske 3-rommet.  Det kan kanskje v?re litt forvirrende for noen at boka her skriver line?re trasnformasjoner som multiplikasjon med matriser fra h?yre i stedet for fra venstre. Grunnen til dette er at vi da slipper ? skille mellom vektorer skrevet p? rekkeform og koordinatvektoren med hensyn til standard basis.  Legg merke til at matrisen vi multipliserer med (fra h?yre) da har bildene av standard basisvektorene som rekker, og ikke s?yler som vi er vant til fra MAT1110 og MAT1120.

16.10:

Jeg brukte en del tid i dag p? ? vise at generelle isometrier av R^n alle er komposisjoner av translasjoner og ortogonale transformasjoner.  Dette er ikke bevist i l?reboka, men du kan finne det  her:  http:/folk.uio.no/bjoernj/kurs/2500/isometrier.pdf .  Resten av tiden viste jeg hvordan ortogonale transformasjoner av R^3 kan oppfattes som rotasjoner om en passende akse.

20.10:

I dag beskrev jeg isometriene av R? som har determinant -1 (de "indirekte" isometriene) og viste at de alle er refleksjoner, eller mer generelt "rotasjonsrefleksjoner" - en komposisjon av en refleksjon i et plan og en rotasjon om normalaksen til dette planet. Vi er interessert i isometrier fordi de er kongruensene i 3-dimensjonal geometri.  Spesielt vil vi studere mengden av isometrier som bevarer bestemte geometriske figurer - symmetriene av figuren.  En illustrasjon og et viktig eksempel er kuben (terningen). Plasserer vi den med sentrun i origo, kan vi bruke den geometriske beskrivelsen av isometriene i R? til ? finne alle symmetriene av kuben. Jeg ble nesten ferdig med dette, men vil bruke litt tid neste gang til ? finne alle rotasjonsrefleksjonene.

23.10:

Jeg avsluttet kapittel 4 med ? snakke noe mer om isometrier, spesielt anvendt p? isometrier av en terning. Klassifikasjonen av isometrier av R? kan oppsummeres slik:  Etter en translasjon kan vi anta at isometriene bevarer origo.  Da er de line?re, og determinanten er derfor definert. Den er enten +1 (de "direkte" isometriene) eller -1 (de "indirekte" isometriene).  En direkte isometri har ogs? en egenverdi +1; en tilh?rende egenvektor utspenner en linje gjennom origo ("aksen" til isometrien), og isometrien er rotasjon med en bestemt vinkel om denne aksen.  En indirekte isometri har en egenverdi -1; en tilh?rende egenvektor utspenner igjen en linje som vi her ogs? kaller aksen, og isometrien kan beskrives som en komposisjon (sammensetning) av en rotasjon om denne aksen og refleksjon i planet ortogonalt p? aksen.  Alt dette f?lger av enkle anvendelser av line?r algebra.

Jeg avsluttet s? kapittel 4 med ? snakke om de Platonske legemene - dvs de regul?re konvekse polyedrene i R?. Neste gang begynner jeg p? kapittle 6: projektiv geometri.

27.10:

I dag begynte jeg p? kapittel 6: Projektiv geometri.  Geometrisk handler det om en utvidelse av det Euklidske plan med punkter i "de uendelig fjerne", representert ved retninger av linjer i R?. Dette gj?r f. eks. at to distinkte linjer alltid vil skj?re hverandre i ett punkt, som vil ligge i "det uendelig fjerne" hvis de to linjene er parallelle.  Til ? begynne med kan begrepene her virke veldig abstrakte, s? det er helt vesentlig at du bruker mye tid til ? tenke over definisjonene, slik at du blir fortrolig med hva "punkter" og "linjer" og "det uendelig fjerne" betyr i det projektive plan.

30.10:

Oppgavene i dag (spesielt 6.7) tok mye tid, s? jeg rakk bare ? snakke om dualiteten mellom linjer og punkter i projektive rom, og deretter Desargues' teorem - et av de grunnleggende resultatene i projektiv geometri og perspektivteori. Dette teoremet illustrerer godt fordelene med ? betrakte problemet som et problem i projektiv geometri.  Pr?ver vi ? bevise det i R?, s? m? vi f. eks. skille mellom tilfellene der noen av de involverte linjene er parallelle og der de skj?rer hverandre. I RP? er det ingen forskjell mellom disse to situasjonene.  N?r det gjelder dualitet, s? er det viktig ? merke seg at linjen som er dual til skj?ringspunktet til to linjer ogs? er den entydig bestemte linjen som g?r gjennom punktene som er duale til de to gitte linjene. 

3.11:

Jeg gjennomgikk 6.5, 6.6 og delvis 6.7.  N?r det gjelder kryssforholdet, er det her viktig ? legge merke til at det bare er definert for fire punkter som ligger p? en linje i RP?, mens det var mulig ? definere kryssforholdet for fire vilk?rlige punkter i det komplekse plan. (S? lenge h?yst to av dem er like.)  Kryssforholdet er den viktigste numeriske invarianten vi har i projektiv geometri. Som i C er det avhengig av rekkef?lgen av de fire punktene - hva som skjer n?r vi permuterer dem er gitt ved formlene nederst p? side 192.

I 6.6 er det viktige resultatet det som st?r nederst p? side 193. Dette generaliserer resultatet i 4.10.

6.7 handler om en-entydige korrespondanser (bijeksjoner) mellom punktene p? to linjer i RP?.  Hvis en slik korrespondanse bevarer alle kryssforhold, kalles den en projektivitet.  En viktig type av eksempler p? projektiviteter er perspektiviteter, som vi kan tenke p? som projeksjoner fra punkter som ikke ligger p? noen av de to linjene.  

6.11:

Konstruksjonen av en vilk?rlig projektivitet p? side 195-6 har to viktige konsekvenser. Den f?rste er at gitt tre punkter A_1, A_2 og A_3 p? en linje l og B_1, B_2, B_3 p? m, s? fins entydig bestemt projektivitet som tar A_i p? B_i, i=1,2,3. Den andre er at en projektivitet er en perspektivitet hvis og bare hvis den fikserer skj?ringspunktet mellom l og m.  Disse utsagnene kan ogs? dualiseres og gir resultater om projektiviteter og perspektiviteter mellom linjeskarer ("pencilsof lines") i to punkter.

Formelen nederst p? side 197 kan v?re litt vanskelig ? forst?. men det som menes er at hvis vi fikserer i og lar j variere. s? finnes det en-entydige korrespondanse  mellom linjeskaren (A_iB_j) av linjer gjennom A_i og skj?ringspunktene B_j, og denne bevarer alle kryssforhold. P? samme m?te finnes en-entydige korrespondanse  mellom linjeskaren (A_jB_i) av linjer gjennom B_i  og skj?ringspunktene A_j, Siden A_j->B_j er en projektivitet, blir korrespondansen A_iB_j->A_iB_j en projektivitet mellom linjeskarer, som m? v?re en perspektivitet siden den fikserer linjen A_iB_i.

10.11:

Fire punkter i RP? hvorav tre av dem ikke ligger p? en linje bestemmer en "firkant", men med dette begrepet m? vi her forst? hele den konfigurasjonen vi f?r n?r vi tar punktene og alle de seks linjene som g?r gjennom to og to av dem. Disse linjene har tre nye skj?ringspunkter, som igjen kan forbindes med linjer som har ytterligere skj?ringspunkter med de opprinnelige seks linjene.  P? denne m?ten konstruerer vi oss to nye punkter p? hver av de opprinnelige seks linjene, og det viktigste resultatet er at disse danner et "harmonisk forhold" med de to hj?rnene p? linjen.  (Resultatet nederst p? side 199.) 

Projektive transformasjoner er avbildninger av RP? p? seg selv som er indusert av Invertible line?are transformasjoner av R? vil ta linjer og plan gjennom origo p? linjer og plan gjennom origo.  Derfor induserer de avbildninger av RP? p? seg selv og disse avbildningene kaller vi "projektive transformasjoner".  De er alle gitt p? formen T[X] =[XM], der M er en invertibel 3x3-matrise, og har den viktige egenskapen at de bevarer kryssforhold. Derfor vil en slik T definere en projektivitet m->T(m) for enhver linje m. (Det er en fin oppgave ? pr?ve ? vise at enhver projektivitet er har en slik form.) Et grunnleggende resultat er at hvis vi har gitt to firkanter (i betydningen ovenfor)  A, B, C, D  og A', B', C', D', s? fins entydig bestemt projektiv transformasjon T slik  T(A)=A', T(B)=B', T(C)=C', og T(D)=D'.  Merk at siden T bevarer kryssforhold, kan dette ikke v?re riktig om punktene ligger p? en linje!

13.11:

I dag avsluttet vi kapittel 6. Merk at observasjonen i 6.10 (at enhver projektiv transformasjon har minst ett fikspunkt) har som konsekvens at mange av de projektivitetene  l -> T(l) er perspektiviteter - nemlig n?r linjen l g?r gjennom et fikspunkt for T.

Jeg hoppet over 6.11. Dette er bare et eksempel p? at man kan redusere et generelt problem om insidens av linjer og punkter i RP? til en spesiell situasjon ved ? anvende en passende projektiv transformasjon.  Velger vi en slik spesiell situasjon litt smart, kan det hende at problemet har en enklere l?sning (i dette tilfellet ved utregning).  Siden vi allerede har g?tt gjennom et geometrisk bevis for Pappus' teorem, fant jeg ingen grunn til ? g? i detalj her.

Til slutt snakket jeg litt mer generelt om perspektiv, med vekt p? at hovedprinsippene kan forst?s p? samme m?te som mye av det vi har gjort i projektiv geometri.

17.11:

Sf?risk geometri er geometri p? en kule - en geometri som har fundamental betydning s?rlig i navigasjon og astronomi. "Linjene" i denne geometrien er storsirklene p? kulen. Disse er snitt mellom kulen og plan gjennom sentrum i kulen, og vinkelen mellom to storsirkler kan vi tenke p? enten som vinkelen mellom to tangenter eller som vinkelen mellom de tilsvarende planene. Avstanden mellom to punkter definerer vi som lengden av den korteste storsirkelbue mellom dem. Vi normaliserer ved ? studere kuler med radius 1 og sentrum i origo, og da m?ler vi avstanden i radianer, slik at avstanden mellom to punkter X og Y p? S? blir vinkelen mellom X og Y som vektoren i R?.

Den sf?riske cosinussetningen uttrykker en side i en sf?risk trekant ved hjelp av de to andre sidene og cosinus til deres mellomliggende vinkel - akkurat som cosinussetningen gj?r i det Euklidske tilfellet.  Ved ? sette in MacLaurinrekkene til cosinus og sinus til sidelengdene ser man ogs? ganske lett at opp til ledd av orden 4 er de to setningene helt like. Dette betyr at s? lenge vi betrakter trekanter som er sm? i forhold til radien i kulen, s? er den Euklidsk trigonometri en sv?rt god tiln?rming til sf?risk trigonometri.