Beskjeder

For dem som kanskje vil ha glede av det finner dere

her

et l?sningsforslag av dagens eksamen (Jeg har ikke korrekturlest det s? n?ye og mottar gjerne beskjeder om trykkfeil.)

En link til fjor?rets hjemmeside der dere blant annet finner oppgaver som var gitt i fjor og l?sningsforslag til midtermin og slutteksamen finner dere

her

Noen av oppgavene som ble gitt ifjor er oppgaver fra boka til McClearly. Dere finner kopier av disse oppgavene lagt ut i posthyllen min i 7.etg. Bare forsyn dere (det er kun ett eksemplar til hver)

L?sningsforslag til de obligatoriske oppgavene finner dere

her

14/11 forsatte jeg ? forelese om krumning. Jeg beviste at Gausskrumning er en intinsik st?rrelse. Jeg begyntte s? p? avsnittet om geodetiskekurver. her vil jeg fortsette imorgen. Jeg vil forelese teori frem til og med 23/11. Siste uke (28/11 og 30/11) vil jeg ogs? undervise, men konsentrere meg om ? regne oppgaver (samt snakke p? en litt orienterende m?te om Gauss-Bonnet teoremet) Jeg legger for?vrig ut midttermineksamen fra ifjor

her

Fjor?rets eksamens oppgave finner dere

her

Mandag 7/11 fortsatte jeg med differensialgeometri og jeg avsluttet med ? definere Riemannsk mangfoldighet, buelengde med hensyn p? denne og forklarte hvordan vi kan gi de hyperbolske flatene H og D en Riemannskstruktur kompatibelt med det buedifferensialet som vi allerede hadde definert. Jeg vil forsette ? snakke om isometrier av Riemannske mangfoldiheter og s? begynne ? snakke om krumning. Jeg har gjort flere oppdateringer av Bj?rns notat som dere kan laste ned ved ? f?lge linken under beskjeden 2/11.

Onsdag 26/10 avsluttet jeg notatet om topologisk klassisfikasjon av 2-mangfoldigheter og begynte p? notatet om geometriske struktuerer p? flater. Jeg vil avslutte dette idag og ogs? gj?re noen oppgaver fra seksjon 8 i notatet om hyperbolsk geometri. Avslutningsvis vil jeg si litt om besvarelsene av obligene som jeg n? har rettet.

Idag fortsatte jeg ? snakke om topologisk klasssifikasjon av 2 mangfoldigheter. Det gjenst?r bare ? si litt om Eulerkarakterisstikk og hvorfor antall toruser og projektive rom er entydig bestemt i klassifikasjonen, dette begynner jeg med p? onsdag og jeg g?r s? videre p? Jahrens hefte om geometriske strukturer p? 2 mangfoldigheter. Jeg vil ogs? (om jeg f?r tid) regne oppgaver fra seksjon 8 i heftet om hyperbolsk geometri.

Mandag 17/10 fortsatte jeg ? snakke om buelengde b?de i H og D og jeg utledet formler for buelengde differensialet i begge disse tilfeller. Jeg regnet et eksempel der jeg viste at (den hyperbolske)buelengden av et rett linjestykke parallell med den reelle aksen i H, er lenger enn den hyperbolske avstanden mellom endepunktene. Jeg regnet ogs? ut lengden av en hyperbolsk sirkelpereferi med hyperbolsk lengde rho. Jeg diskuterte s? hvordan vi skal regne ut hyperbolsk areal og utledet arealintegralet for dette i H. Jeg regnet s? ut arealet av en trekant i H.Onsdag 19/10 J utledet jeg s? arealintegralet i D og regnet direkte ut at den isometrien vi har mellom H og D er arealbevarende. Jeg beregnet areal av en hyperbolsk sirkel i D. Jeg gikk s? over p? notatet om klassifikasjon av kompakte topologiske to-mangfoldigheter. Jeg forklarte hva dette er og hva sammenhengende sum av slike er. Jeg forklarte litt om toruser og projektive rom og hvordan disse kan defineres som kvotientrom av...

Forelesningene i dette kurset er avlyst i uke 41 p? grunn av midttermineksamener i andre emner.

Obligatoriske oppgaver for b?de MAT 3510 og 4510 med leveringsfrist 19/10 finner dere

her

Mandag 3/10. Fortsatte jeg ? snakke om M?biustransformasjoner p? D. Jeg viste blant annet at alle ortogonale line?re avbildninger (rotasjoner og speilinger) blir M?biustransformasjoner p? D. Jeg gikk s? over til ? forklare hvordan vi definerer en metrikk p? D. Jeg regnet endel oppgaver om hyperbolske trigonometriske funksjoner og ga s? endel formler for metrikken p? D og H utrykt ved disse funksjonene. Onsdag 5/10 begynte jeg ? snakke om hyperbolske trekanter og utledet cosinussetninger (to setninger) og sinusproposjon for slike. Jeg snakket s? om asymptotiske trekanter og til slutt begynte ? si noe innledningsvis om buelengde i det hyperbolske planet.

Mandag 26/9 ble jeg ferdig med oppgavene for kapittel 3. Jeg definerte s? en metrikk p? H og viste formler for denne metrikken. Jeg viste tilslutt at metrikken oppfylte alle (metrikk) aksiomene borsett fra trekantulikheten og at den har egenskapen at to par av punkter har samme (hyperbolske)avstand hvis og bare hvis det fins en M?biustransformasjon som avbilder det ene paret p? det andre. Onsdag 28/9 beviste jeg (etter endel om og men) at trekantulikheten er oppfylt og at vi har likhet i denne hvis og bare hvis de tre punktene ligger etter hverandre p? en hyperbolsk linje. Jeg gikk s? over til ? se p? diskmodellen D til det hyperbolske planet. Jeg definerte en isometri mellom H og D, definerte M?biustransformasjoner p? D som transformasjoner svarende til M?bius transformasjoner p? H via konjugasjon med isometrien over. Jeg regnet s? ut utrykk for M?biustransformasjonene p? D.

I dag vil jeg bli ferdig med oppgavene fra kapittel 3. Jeg vil s? vise at vi kan finne en metrikk p? H der M?biustransformasjonene blir isometrier (kapittel 5)

Mandag 19. begynte jeg beviset p? at kongruensrelasjonene var oppfylt for halvplanet H. Jeg har igjen kongruensrelasjonene for vinkler. Jeg vil p? onsdag 21. f?rst forelese dette. Jeg g?r s? over p? ? gjennomg? oppgaver fra kapittel 3. Jeg fortsetter s? med kapittel 5 der jeg skal definere en metrikk p? H slik at M?bius transformasjonene blir isometrier.

Mandag 12/9 avsluttet jeg kapittel 2 og gikk over til oppgavene fra dettte kapittelet der jeg regnet 2.1-2.5. Jeg begynte s? p? klassifikasjonen av reelle M?biustransformasjoner der jeg klassifiserte de positive reelle med ett fikspunkt. Onsdag 15/9 fortsatte jeg med dette der jeg klassifiserte de som hadde henholdsvis to reelle eller to imagin?re fikspunkter. Jeg klassifiserte ogs? de negative som opptil translasjon er konjugert med en standard inversjon av enhetssirkelen. Jeg gikk s? over p? kapittel 4 der jeg definerte kongruensrelasjonene for segmenter og vinkler. Jeg fortsetter med dette mandag 19.

Mandag 5/9 begynte jeg (Hans Brodersen) p? heftet "En introduksjon til hyperbolsk geometri". Jeg introduserte K den ?pne enhetsdisken i planet, der vi lar linjene v?re snittet av linjer i R^2 med denne disken (K-linjer). B?de insidens, mellomhets aksiomene, Dedekinsaksiom og aksiom H vil holde. For ? f? en hyperbolsk geometri trenger vi derfor definere et kongruensbegrep slik at kongruensaksiomene vil holde. Det er imidlertid enklere ? definere dette i andre hyperbolske modeller. Dette kan vi gj?re ved ? avbilde K p? sf?ren S^2, enten p? nedre halvkule eller halvkulen der y>0. Bruker vi n? sterografisk projeksjon vil K bli avbildet henholdsvis p? en ny kopi av enhetsdisken som vi kaller D, eller p? halvplanet y>0 som vi kaller H. K-linjene g?r over p? andre kurver i D eller H som vi kaller D eller H linjer, og vi kan istedet fors?ke ? definere kongruensrelasjoner med hensyn p? disse i D eller H. For ? analysere disse nye modellene s? jeg f?rst p? sterografisk projeksjo...

Onsdag 31/8 regnet jeg oppgavene fra sf?risk geometri (1.1, 1.3, 1.5, 1.7, 1.8 og 1.9 fra det utdelte notatet). Tom Lindstr?m

I dag avsluttet jeg notatet om Hilberts aksiomer og snakket til slutt litt uformelt om hyperbolsk geometri (i form av Poincares diskmodell). Jeg utbroderte notatet litt (ved ? skissere hvordan enkelte grunnleggende operasjoner kan utf?res og begrunnes utifra aksiomene). P? onsdag gjennomg?r jeg som tidligere nevnt oppgaver, og p? mandag overtar Hans Brodersen forelesningene. Jeg antar at han vil begynne p? notatet om hyperbolsk geometri (men har egentlig ikke spurt ham om det!). Tom Lindstr?m

All students requiring English translations of their exam papers must report this using "StudentWeb" before September 15th.

P? den andre forelesningen avsluttet jeg den sf?riske geometrien og begynte p? notatet om Hilberts aksiomer for plangeometrien. Jeg rakk ? g? gjennom de to f?rste aksiomgruppene (insidens I.1-I.3 og "mellomliggenhet" B.1-B.4). P? mandag avslutter jeg dette notatet. Dersom det er rimelig med tid igjen, begynner jeg deretter p? notatet om hyperbolsk geometri

P? f?rste forelesning snakket jeg litt om sf?risk geometri, dvs. geometrien p? en kuleflate. Jeg definerte storsirkler, viste at det gjennom ethvert par av punkter p? kuleflaten g?r n?yaktig en storsirkel (forutsatt at punktene ikke er antipodale), fant en formel for arealet til en sf?risk trekant og beviste den sf?riske versjonen av Pyhagoras' setning. Jeg pr?vde systematisk ? belyse likhetene/forskjellene mellom sf?risk geometri og plangeometri. P? onsdag fortsetter jeg med beviset for den sf?riske sinusproporsjonen, deretter g?r jeg over p? notatet om Hilberts aksiomsystem (ligger p? nettet). P? forelesningen delte jeg ut noen ark om sf?risk geometri - disse kan man f? av meg (rom B1027).

Jeg kommer til ? bruke onsdag 24/8 og mandag 29/8 til forelesninger, mens jeg onsdag 29/8 g?r gjennom oppgaver. De aktuelle oppgavene er 1.1, 1.3, 1.5, 1.7, 1.8 og 1.9 fra de utdelte arkene om sf?risk geometri.

Tom Lindstr?m

Jeg (Hans Brodersen) vil v?re bortreist de to f?rste ukene av undervisningen. Tom Lindstr?m vil vikariere.