\documentclass[12pt,fleqn]{article}
\textheight 23.5cm \topmargin 0cm \oddsidemargin 0.25cm \textwidth
15cm
\parindent 0em
\parskip 1ex

\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\noindent
\begin{center}
{\Large\bf\ Andre sett med obligatoriske oppgaver\\[0.4cm] i  STK1100
v{\aa}ren 2011}\\[0.8cm]
\end{center}
%
{\footnotesize Dette er det andre settet med obligatoriske
oppgaver i
  STK1100 v{\aa}ren 2011.  Oppgavesettet best{\aa}r av to oppgaver.
  Den f{\o}rste oppgaven er en ren teorioppgave. Den andre oppgaven
  inneholder b{\aa}de
  teoretiske punkter, diskusjonspunkter og punkter der du m{\aa} bruke MATLAB.
   Det er valgfritt om du vil skrive besvarelsen
  for h{\aa}nd eller om du vil bruke et tekstbehandlingsprogram.
  Uansett skal resultater og figurer fra MATLAB-kj{\o}ringene  i oppgave~2 tas med
  i besvarelsen p{\aa} en hensiktsmessig m{\aa}te.  Hvis flere
  studenter   欧洲杯在线买球_欧洲杯投注网站推荐@er om {\aa} l{\o}se oppgavene, m{\aa} likevel hver student
  levere sin {\it selvstendige\/} besvarelse. Det m{\aa} g{\aa} fram av besvarelsen hvem du
  har 欧洲杯在线买球_欧洲杯投注网站推荐@et med. Se ellers ``Regelverk for obligatoriske
  oppgaver" som er gitt p{\aa} kursets hjemmeside.

  Besvarelsen leveres ved ekspedisjonen til Matematisk institutt, 7.~etasje, Niels Henrik
  Abels hus. \\ {\it Frist for innlevering er torsdag 5.~mai kl.
    14.30.}}\\

%
\subsection*{Oppgave 1}
La  $X$ v{\ae}re {\aa}rsinntekten  til en
tilfeldig valgt person i en  befolkningsgruppe. Det
er vanlig {\aa} anta at $X$ er
Pareto-fordelt, det vil si at $X$  har sannsynlighets\-tettheten
%
\[
f_{X}(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
             \theta \kappa^\theta x^{-\theta-1} &
\qquad \mbox{ for }
             \quad x>\kappa \\[0.3cm]
             0                          & \qquad \mbox{ ellers. }
             \end{array} \right.
\]
%
Her er $\kappa$ minsteinntekten i den befolkningsgruppen vi betrakter,
mens $\theta>2$ er en parameter som avhenger av l{\o}nnsforskjellene i
gruppen.
%
\begin{itemize}
\item[a)]Vis at den kumulative sannsynlighetsfordelingen til $X$ er
  gitt ved
\[
F_{X}(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
             1 - \kappa^{\theta} x^{-\theta} &
               \qquad \mbox{  for }
             \quad x>\kappa\\[0.3cm]
             0                          & \qquad \mbox{ ellers. }
             \end{array} \right.
\]
%
Bestem median {\aa}rsinntekt.
%
\item[b)]Finn $E(X)$.
%
\item[c)]I dette punktet antar vi at $\kappa=200\, 000$~kroner og $\theta=2.5$.
Hva blir da median {\aa}rsinntekt og forventet {\aa}rsinntekt?
Hvilken av de st{\o}rrelsene gir etter din mening best uttrykk for
den ``typiske {\aa}rsinntekten'' i befolkningsgruppen?
%
\item[d)]Finn variansen og standardavviket til $X$.
\item[e)]La $Y=\theta\log(X/\kappa)$. Bestem sannsynlighetstettheten til $Y$.
Hvilken kjent sannsynlighetstetthet er dette?

\end{itemize}




\subsection*{Oppgave 2}

 \noindent La $X_1,X_2,\ldots,X_n$
v{\ae}re uavhengige og identisk fordelte stokastiske variabler\\
(dvs.\ alle $X_{i}$-ene har samme for\-deling). Sett $\mu=E(X_{i})$
og $\sigma^2=\mathrm{Var}(X_{i})$.

Innf{\o}r gjennomsnittet
\begin{equation}
  \label{eq:gjsnitt}
  \overline{X}_n=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}X_i
\end{equation}
og det standardiserte gjennomsnittet
\begin{equation}
  \label{eq:normgjsn}
  Z_n=\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}
  =\sqrt{n}\, \frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma}
\end{equation}
P{\aa} forelesningene har vi vist at $E(\overline{X}_n)=\mu$ og
  $\mathrm{Var}(\overline{X}_n)=\sigma^2/n$.
\begin{itemize}
\item[a)] Vis at $E(Z_n)=0$ og $\mathrm{Var}(Z_n)=1$.
\end{itemize}
%
Form{\aa}let med oppgaven er \aa\ studere fordel\-ingen til det
standardiserte gjennom\-snittet (\ref{eq:normgjsn}) for ulike
fordelinger av $X_{i}$-ene og ulike verdier av $n$.  Spesielt vil vi
v{\ae}re interessert i {\aa} unders{\o}ke hvor godt (eller
d{\aa}rlig!)  fordel\-ingen til det standardiserte gjennom\-snittet
kan tiln{\ae}rmes med standardnormalfordelingen, og hvordan denne
tiln{\ae}rmingen avhenger av $n$ og av fordelingen til $X_{i}$-ene.

Konkret vil vi la $n=3$, 10 og 30, og vi vil betrakte fordelingene:
\begin{itemize}
\item Den uniforme fordelingen med sannsynlighetstetthet
  \begin{equation}
    \label{eq:uniform}
    f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{ for } 0 \le x \le 1\\
        0 & \mbox{ ellers }
      \end{array}\right.
  \end{equation}
\item Eksponensialfordelingen med sannsynlighetstetthet
  \begin{equation}
    \label{eq:eksp}
    f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} e^{-x} & \mbox{ for } x \ge 0\\
        0 & \mbox{ for } x < 0
      \end{array}\right.
  \end{equation}
\item Bernoulli fordelingen med punktsannsynlighet
  $p(x)=P(X=x)$ gitt ved
  \begin{equation}
    \label{eq:bernoulli}
    p(x)=1/2 \quad \mbox{ for } x=0,1
  \end{equation}
\end{itemize}

\begin{itemize}
\item[{\rm b)}] Bestem $\mu=E(X_i)$, $\sigma^2=\mathrm{Var}(X_i)$ og
  $\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}(X_i)}$ for de tre fordelingene.
\end{itemize}
%
Du skal bruke stokastisk simulering i dine unders{\o}kelser.
Framgangsm{\aa}ten er som f{\o}lger. For gitt fordeling (en av de tre over)
og gitt verdi av $n$ (lik 3, 10 eller 30) trekker du ved hjelp av
datamaskin
$n$ ``observasjoner'' fra
den aktuelle fordelingen og beregner det standardiserte gjennomsnittet
(\ref{eq:normgjsn}). Dette gjentas 10{\,}000 ganger. Du f{\aa}r med dette 10{\,}000
``observasjoner'' av~$Z_{n}$.
\begin{itemize}
\item[{\rm c)}] Forklar hvorfor et (normert)
  histogram av de 10{\,}000 ``observasjonene'' av $Z_{n}$ vil
  ligge n{\ae}r
  sann\-synlig\-hets\-tettheten/punkt\-sann\-syn\-lig\-het\-ene til~$Z_{n}$.
\end{itemize}
Du kan enkelt foreta stokastisk simulering ved hjelp av \textsc{Matlab}. Vi
beskriver framgangsm{\aa}ten for den uniforme fordelingen (\ref{eq:uniform})
n{\aa}r $n=3$:

{\footnotesize
  \begin{itemize}
  \item F{\o}rst setter du $n=3$ og trekker $n\times 10{\,}000$
uniformt fordelte  ``observasjoner'' som du
  tar vare p{\aa} i  matrisen \texttt{X}:
\begin{verbatim}
        n = 3;
        X = unifrnd(0,1,n,10000);
\end{verbatim}
    Elementene i \'{e}n kolonne i \texttt{X} gir deg
    de $n=3$ ``observasjonene'' i \'{e}n simulering,
    mens de 10{\,}000 kolonnene gir deg resultatene av 10{\,}000 simuleringer.
\item Du beregner s{\aa} gjennomsnittet av de  $n=3$  ``observasjonene''
   i hver kolonne
    i \texttt{X} og tar vare p{\aa}  gjennomsnittene i
    \texttt{meanX} ved
\begin{verbatim}
         meanX= mean(X);
\end{verbatim}
    Radvektoren~\texttt{meanX} vil  inneholde 10{\,}000 ``observasjoner'' av
    $\overline{X}_{n}$ gitt ved (\ref{eq:gjsnitt}).
 \item Du beregner endelig de standardiserte gjennomsnittene ${Z}_{n}$ gitt
    ved (\ref{eq:normgjsn}) og tar vare p{\aa} disse i
    \texttt{Z} ved
    \begin{quotation}
      \texttt{Z = sqrt(n)*(meanX-$\mu$)/$\sigma$;}
    \end{quotation}
    (Merk at uttrykket er skrevet generelt. Du m{\aa} erstatte
    $\mu$ og $\sigma$ med de verdiene du fant for disse i punkt~b) for den
    uniforme fordelingen.)
  \end{itemize}
}

\begin{itemize}
\item[{\rm d)}] Utf{\o}r kommandoene gitt ovenfor. Lag et (ikke
  normert) histogram med klassebredde 0.25 av de standardiserte
  gjennomsnittene  ved kommandoen\\  \texttt{hist(Z,-3:0.25:3)}.
  Kommenter histogrammets utseende.
\end{itemize}
For {\aa} sammenligne den empiriske fordelingen til
${Z}_{n}$ med standardnormal\-fordelingen, vil vi beregne de relative
frekvensene av ``observasjoner'' av $Z_n$ i intervallene $(-\infty,-2.5)$,
$[-2.5,-2.0)$, $[-2.0,-1.5)$, $[-1.5,-1.0)$, $[-1.0,-0.5)$, $[-0.5,
0)$, $[0, 0.5)$, $[0.5,1.0)$, $[1.0,1.5)$, $[1.5,2.0)$, $[2.0,2.5)$ og
$[2.5,\infty)$ og sammenligne disse med sannsynlighetene for at en
standardnormalfordelt variabel vil falle i de samme intervallene.

\begin{itemize}

\item[{\rm e)}] Bruk Table~A.3 i appendikset i l{\ae}reboka eller MATLAB
  til {\aa}
  bestemme sann\-synlighetene for at en standardnormalfordelt var\-iabel vil
  falle i inter\-vallene gitt over.

\item[{\rm f)}] Beregn de relative frekvensene av verdier av ${Z}_{n}$ i de
  samme intervallene. Du kan gj{\o}re dette ved kommandoene:
\begin{verbatim}
  int = [-Inf, -2.5, -2, -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, Inf];
  ant = histc(Z, int);
  relfrekv = ant(1:12)/10000;
\end{verbatim}
Sammenlign de relative frekvensene med
sannsynlighetene du fant i punkt~e). Kommenter.

\item[{\rm g)}] Gj{\o}r punktene d) og~f) om igjen for den uniforme
  fordelingen n{\aa}r $n=10$  og n{\aa}r $n=30$. Kommenter de resultatene du
  n{\aa} f{\aa}r, og sammenlign med de du fant i d) og~f).

\item[{\rm h)}] Gjennomf{\o}r en tilsvarende simuleringsstudie for
  eksponensialfordelingen (\ref{eq:eksp}) som den du gjorde for den
  uniforme i punktene d), f) og~g).
  Kommenter de resultatene du n{\aa}
  f{\aa}r for ulike verdier av~$n$.
  (Bruk \texttt{exprnd(1,n,10{\,}000)} for {\aa} trekke
   $n\times 10{\,}000$  ``observasjoner'' fra  eksponentialfordelingen med
 para\-meter~1.)

\item[{\rm i)}] Utf{\o}r en tilsvarende simuleringsstudie for
  Bernoulli-fordelingen (\ref{eq:bernoulli}) som for de to andre fordelingene.
  Kommenter de resultatene du n{\aa} f{\aa}r for ulike verdier av~$n$.
 (Bruk \texttt{binornd(1,0.5,n,10000)} for {\aa} trekke
   $n\times 10{\,}000$  ``observasjoner'' fra  Bernoulli fordelingen med
 ``suksessannsynlighet'' 1/2.)

\item[{\rm j)}] Sammenlign til slutt de resultatene du har f{\aa}tt for de
  tre fordelingene.

\end{itemize}

\end{document}
