Askeladden rotet rundt i den store eksen sin med det rare i. Han finner fram teleskopet sitt, setter det opp p? h?yre siden av b?ten og drar fram den gode gamle datamaskinen laget av tre. Han ville gjerne se om han kunne finne noen stjerner med planeter rundt og om stjernene beveger seg bort fra ham.
Han setter teleskopet sitt til ? se p? hastigheten til en stjerne langt, langt unna. Det teleskopet gir er en kurve som oscillerer. ?Merkelig, den skulle jo v?rt rett.? grubler Askeladden. Han tenker p? hva en oscillerende hastighetskurve betyr og kommer p? at det betyr at stjernen beveger seg i ring. Man kan se at lyset som kommer fra stjernen endrer seg p? lysspekteret fra r?dforskyvet til bl?forskyvet. Hvorfor bruker ikke han bare vinkelen som utbreder seg mellom stjernen og planeten? sp?rr du. Jo, den er s? utrolig liten at vi klarer ikke ? separere stjerne og planet p? slike enorme avstander!
Askeladden har jo dr?mt om dette som heter massesenter. Det at stjerna beveger seg i ring betyr at det er en planet rundt stjerna, fordi planeten drar p? stjerna like mye som stjerna drar p? planeten. Dette kan vi se i figur 1. Hadde stjernen ikke hatt en planet hadde denne radielle hastighetskurven v?rt konstant ved en hastighet, som man kan se i figur 2.
N?r han observerer lyset fra andre stjerner legger Askeladden merke til at dataene han f?r er litt tykke. Ved n?rmere inspeksjon s? ser han at det er sammensatt av mange sm? "opp-" og "nedturer" langs observasjonsspekteret. Han roter fram br?kknuseren som han har liggende i b?ten. Denne knuser grafen ved ? se p? dataene som f?rer til det minste avviket mellom det Askeladden ser og den estimerte kurven som passer best til dataene.
N? som Askeladden skj?nte at det er en planet rundt stjerna han ser p?. Vil han gjerne finne ut hvor stor denne kan v?re, b?de masse og radius. En ting som Askeladden finner ut n?r han tegner teleskopet som peker p? stjerna er at hvis normalen til systemet er 90 grader p? synslinjen hans, s? kan han se at lyset til stjerna dupper av. "Hva kan n? dette bety?" tenker Askeladden med blyanten mellom ?rene. "Det m? jo v?re fordi noe blokker for stjerna!" roper Askeladden ekstatisk. Han skriver og tegner febrilsk en sketsj av hvordan det kan se ut i figur 3.
Han ser at i det planeten begynner ? dekke stjerna s? g?r lys styrken line?rt nedover til den stopper. "Det m? da vel bety at diameteren til stjerna kan finnes ved ? se p? tiden den bruker ? dekke stjerna og hastigheten den har." uttrykke Askeladden. Han uttrykket det i en formel som vist under:
\(D = 2R_p = \vec{v}_p \cdot (t_1 - t_0)\), her er \(\vec{v}_p\) hastigheten til planeten, \(R_p\) er radiusen til planeten, \(t_1\) er tiden da hele planeten skygger for sola og \(t_0\) er tiden f?r den begynner ? skygge for stjernen.
Men hvordan i all verden finner man hastigheten til planeten? Vi vet jo hastigheten til stjernen ved ? se p? endringen i b?lgelengden fra dopplereffekten av lyset som kommer til teleskopet, grunnet bevegelsen til stjernen rundt massesenteret. Vel, vi deriverte jo vektorene som peker p? legemene fra massesenter systemet som \(\vec{r}_{1, CM}, \vec{r}_{2, CM}\). Tar vi forholdet mellom disse to vektorene og litt angul?r hastighets ekstravagansa f?r vi uttrykket under:
\(\frac{|\vec{r}_{2, CM}|}{|\vec{r}_{1, CM}|} = \frac{\frac{\mu}{m_2}\vec{r}}{\frac{\mu}{m_1}\vec{r}} = \frac{m_1}{m_2} = \frac{v_1}{v_2}\), hvor \(m_1\), \(v_1\) er massen og hastigheten til planeten og \(m_2\), \(v_2\) er massen og hastigheten til stjernen sett fra massesenteret.
Vi kan fra denne finne hastigheten til planeten gitt ut ifra begge massene til legemene og den radielle hastigheten til stjerna. Men vi har jo ikke massen til planeten, s? har vi kommet noe lengre egentlig? Askeladden kl?r seg i hodet og tenker p? hvilke sammenhenger man har til massen til planeten ut i fra det han vet.
Askeladden husker det han l?rte fra vandreren Newton om oml?psperioden til legemet rundt stjernen og at store halvakse i massesentersystemet kan skrives som \(a = a_{\odot} + a_p\). Dette er summen av store halvakse til stjerna (\(a_{\odot}\)) og store halvakse til planeten (\(a_p\)). Det kan da vises at massen til planeten (\(m_1\)) ved en inklinasjonsvinkel p? \(i \approx 90^\circ\) ender opp som:
\(m_1 = \frac{m_2^{2/3} v_{2, r} P^{1/3}}{(2\pi G)^{1/3}}\), massen til planeten er dermed avhengig av den radielle hastigheten til stjernen og perioden til planeten om massesenteret.
I den fine formelen over er den minste massen til planeten gitt som \(m_1\). Minste massen? sp?rr du. Ja, sier eg. Vi ser p? tilfelle hvor solsystemet st?r normalt p? synsretningen v?r, alts? at inklinasjonsvinkelen er \(i = 90^\circ\). Dermed f?r vi at den minste mulige massen er \(m_{1}sin(i) = m_{1, min}\). Den radielle hastigheten til stjerna rundt massesenteret er gitt som \(v_{2, r}\). G er den universale gravitasjonskonstanten gitt som \(G = 6.67\cdot 10^{-11}\) [\(m^3 kg^{-1}s^{-2}\)] og P er perioden til stjerna gitt i gitt i sekunder.
Hva skal n? Askeladden gj?re med all denne informasjonen? Jo, han skal gj?re litt ap p? Tuslingen!
Kilder
- Forelesningsnotater Part 1B og Part 1C av Frode Hansen, /studier/emner/matnat/astro/AST2000/h21/undervisningsmateriell/lecture_notes/