Askeladden begynner med ? tegne et typisk gravitasjonspotensial i figur 1. Den kritiske radiusen vil v?re det som kalles hendelseshorisonten til et sort hull. Dette er punktet hvor selv lys ikke er energiskt nok til ? unnslippe gravitasjonen til det sorte hullet. Schwarzschild kom fram til at den kritiske radiusen er hvor \(r_{crit} = 2M_{}\). \(M\) er massen til det sorte hullet. Askeladden har ogs? merket hvor den kritiske energien \(E_{crit}\) ligger. Om et objekt har h?yere energi en den kritiske energien, vil objektet falle inn i det svarte hullet og v?re borte for alltid.
Objekter kan ogs? befinne seg i bane rundt et sort hull. Et objekt vil da komme inn mot det sorte hullet med en gitt energi og gi noe av denne energien til det sorte hullet. Objektet vil da ikke har nok energi til ? komme seg ut av tyngdefeltet og begynner ? g? i bane rundt det sorte hullet. For ? finne ut om objektet ditt ikke faller inn i det sorte hullet, trenger man ? finne energi per masse til objektet og angul?r momentet til det samme objektet.
Askeladden og Tuslingen aner fred og ingen fare f?r motoren deres harker, hoster og stopper helt opp. De har en hastighet p? \(v_{shell} = 0.993\) [km] og befinner seg \(r = R = 20M\) unna det sorte hullet. Vinkelen de har er p? \(\theta = 167^\circ = 2.914\) [rad] i forhold til x-aksen. Askeladden begynte ? tegne scenarioet som man kan se i figur 2.
Det neste han m? finne ut n? er om de kommer til ? unnslippe det sorte hullet eller falle rett inn i det, de har jo tross alt en ganske stor hastighet. Askeladden er n?dt til ? finne potensialet deres inn mot det sorte hullet. Det generelle relativistiske uttykket for energi per masse er gitt som formelen under:
\(\frac{E}{m} = \left(1 -\frac{2M}{r}\right)\frac{dt}{d\tau}\), dette uttrykket gjelder for langtvekk observat?rer og vil ikke hjelpe Askeladden noe, siden han er en skallobservat?r ved dette tidspunktet. Han kan uttykke \(\frac{dt}{d\tau} = \frac{dt}{dt_{sh}}\frac{dt_{sh}}{d\tau}\), hvor \(t_{sh}\) er skallobservat?rtiden til Askeladden.
Han kan skrive forholdet mellom langt-vekk- og skallobservat?r som \(dt = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{2M}{r}}}dt_{sh}\). For korte tidsintervaller kan skallobservat?ren bruke lokalt inertialsystem og sammenhenger fra spesiell relativitet. Den andre biten av formelen over kan dermed skrives for \(\frac{dt_{sh}}{d\tau} = \gamma_{sh} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}}\). Askeladden kan dermed skrive energien per masse til b?ten p? formen under:
\(\frac{E}{m} = \sqrt{1 - \frac{2M}{R}}\gamma_{sh}\), hvor \(\gamma_{sh}\) er forholdet mellom egentid og skalltiden til Askeladden og Tuslingen i b?ten.
Det neste er ? finne hvor ekstremalpunktene til det effektive potensialet. Askeladden begynner f?rst fra det generelle uttrykket for effektivt potensial, deriverer det med hensyn p? avstanden \(r\) og setter det uttrykket lik 0. Han kommer da fram til uttrykket under:
\(r_{ekstremal} = \frac{(L/m)^2}{2M}\left(1 \pm \sqrt{1 - \frac{12M^2}{(L/m)^2}}\right)\), ved ? se p? alle verdiene som er opph?yd i andre (som vil bli de st?rste tallene) kan Askeladden se at den st?rste faktoren i dette uttrykket vil v?re br?ken under roten. Begge verdiene i denne br?kene vil ?ke og synke med samme hastighet og dermed er uttrykket kun avhengig av \(\pm\)-tegnet inne i parentesen. Det st?rste punktet vil dermed v?re n?r dette tegnet er positivt.
Askeladden finner ogs? fram til uttrykket for angul?r momentum ved ? utnytte prinsippet om maksimum aldring. Han kommer fram til formelen under:
\(\frac{L}{m} = R\gamma_{sh}v_{sh}\sin\theta\), dette uttrykket er avhengig av radius \(R\), \(\gamma_{sh}\) fra tidligere, hastighet og vinkel.
Massen til det sorte hullet som de er p?vei rett mot er \(M \approx 4\cdot 10^6M_\odot\), hvor \(M_\odot = 2.0\cdot10^{30}\) [kg] er massen til solen i jordas solsystem. Askeladden plotter situasjonen deres i figur 2.
Her kan man se at den r?d linjen som representerer den kritiske energien er under angul?r moment per masse til b?ten. Askeladden og Tuslingen er dermed p?vei inn mot det sorte hullet for en sikker.
Turen fra hendelseshorisonten til singulariteten i det sortehullet blir kort og smertefull. Rett f?r de n?r singulariteten kommer de til ? oppleve en enorm gravitasjonskraft ut av en annen verden. Den vil virke molekyl?rt p? kroppene deres og de vil bli strekt fra hode til t?. Bit for bit.
Dette var n? veldig trist! Kan du ikke lyse opp dagen min, Askeladden?